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特征值、特征向量的由来
矩阵乘以向量，就像是使用矩阵作用在向量上，最后得到新的向量。在这里，矩阵就像是一个函数，接受一个向量 作为输入，给出向量作为输出。
在这一过程中，我们对一些特殊的向量很感兴趣，他们在输入()和输出()的过程中始终保持同一个方向（ 平行于，只是长度变了），这是比较特殊的。满足这个条件的称为特征向量（Eigen vector），这个平行条件用方程表示就是：
计算特征值为的特征向量，有，也就是特征值为的特征向量应该位于的零空间中。也就是说，如果矩阵是奇异的，那么它将有一个特征值为。
投影矩阵 的特征值和特征向量
用向量乘以投影矩阵得到投影向量 ，在这个过程中，只有当已经处于投影平面（的列空间）中时， 与 才是同向的，此时投影前后不变（ ）。
即：在投影平面中的所有向量都是投影矩阵的特征向量，他们的特征值均为。
观察投影平面的法向量（向量），对于投影，因为，所以，即特征向量的特征值为 。