对称矩阵及正定矩阵type
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对称矩阵
对称矩阵的特性：
- 特征值为实数（对比旋转矩阵，其特征值为纯虚数）
- 特征向量相互正交（当特征值重复时，特征向量也可以从子空间中选出相互正交正交的向量）
在通常（可对角化）情况下，一个矩阵可以化为：
在矩阵对称的情况下，由特征向量组成的矩阵中的列向量相互正交，如果把特征向量的长度统一化为，就可以得到一组标准正交的特征向量。对于对称矩阵有，而对于标准正交矩阵，有，所以对称矩阵可以写为
这个分解本身就代表着对称，
在数学上叫做谱定理（spectral theorem），谱就是指矩阵特征值的集合。（该名称来自光谱，指一些纯事物的集合，就像将特征值分解成为特征值与特征向量）
在力学上称之为主轴定理（principle axis theorem），从几何上看，它意味着如果给定某种材料，在合适的轴上来看，它就变成对角化的，方向就不会重复。
证明性质1
对于矩阵 ，其共轭部分总有 。只讨论实矩阵，有，将等式两边取转置有 。将“下划线”式两边左乘 有 ，“上划线”式两边右乘 有 ，两个式子左边一样，所以 ，则有 （这里有个条件， ），证毕。
证明这个前提条件：
设则 ，所以有 ， 就是 长度的平方。
拓展这个性质，当为复矩阵，根据上面的推导，则矩阵必须满足 时，才有性质1、性质2成立（具有这种特征值为实数、特征向量相互正交的矩阵为“好矩阵”）。
，注意这个展开式中的 ， 是单位列向量所以 ，结合投影矩阵的知识有 是一个投影矩阵，很容易验证其性质，比如平方它会得到 于是多次投影不变等。
每一个对称矩阵都可以分解为一系列相互正交的投影矩阵
在知道对称矩阵的特征值皆为实数后，我们再来讨论这些实数的符号，因为特征值的正负号会影响微分方程的收敛情况（需要实部为负的特征值保证收敛）。用消元法取得矩阵的主元，观察主元的符号，主元符号的正负数量与特征向量的正负数量相同。
二次型
，其中 ，称为 元二次型，简称二次型
若令，这二次型 可改写成矩阵向量形式 其中称为二次型矩阵，因为 ，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵A的秩称为二次型的秩
惯性定理
对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理
标准形
二次型 经过合同变换 化为
称为 的标准形，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由 唯一确定
规范形
任一实二次型f都可经过合同变换化为规范形 ，其中为 的秩， 为正惯性指数， 为负惯性指数，且规范型唯一
用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性
设 正定 正定; , 可逆; ,且
, 正定 正定.但 , 不一定正定
正定
⇔ 的各阶顺序主子式全大于零
⇔ 的所有特征值大于零
⇔ 的正惯性指数为n
⇔存在可逆阵 使
⇔存在正交矩阵 ,使
其中 正定 正定; 可逆; ,且 .
正定性
如果对称矩阵是“好矩阵”，则正定矩阵（positive definite）是其一个更好的子类。正定矩阵指特征值均为正数的矩阵（根据上面的性质有矩阵的主元均为正）。
举个例子， ，由行列式消元知其主元为 ，按一般的方法求特征值有
正定矩阵的另一个性质是，所有子行列式为正。对上面的例子有 。
正定矩阵将消元主元、行列式、后特征值结合在了一起。
正定性的判断
矩阵 ，判断其正定性有以下方法：
- 矩阵的所有特征值大于零则矩阵正定：
- 矩阵的所有顺序主子阵的行列式（即顺序主子式）大于零则矩阵正定： ；
- 矩阵消元后主元均大于零：
大多数情况下使用4来定义正定性，而用前三条来验证正定性。
一个例子： ，在处填入多少才能使矩阵正定？
从判据可知矩阵为正定阵的条件是 ，即
，此时， ，矩阵成为半正定矩阵，半正定矩阵特征值大于等于0。
矩阵一个特征值必为，另一个特征值为 ，矩阵的主元只有一个。
计算 ：
这样得到了一个关于的函数
这个函数不再是线性的，是一个纯二次型（quadratic）函数，它没有线性部分、一次部分或更高次部分（ 是线性的，但引入 后就成为了二次型）。
如果令，矩阵，二阶顺序主子式变为 ，显然不是正定的，此时的函数为
如果取 则有
如果把 放在直角坐标系中，图像过原点 ，当 或 或 时函数为开口向上的抛物线，所以函数图像在某些方向上是正值；而在某些方向上是负值，比如 ，所以函数图像是一个马鞍面， 点称为鞍点，它在某些方向上是极大值点，而在另一些方向上是极小值点。（实际上函数图像的最佳观测方向是沿着特征向量的方向）
如果令 ，矩阵 ，行列式为 ，迹为 ，特征向量均大于零。此时的函数为 ，函数在除 外处处为正。
，式子的平方项均非负，所以需要两个平方项之和大于中间项即可，该函数的图像为抛物面。在 点函数的一阶偏导数均为零，二阶偏导数均为正（马鞍面的一阶偏导数也为零，但二阶偏导数并不均为正），所以函数在该点点取极小值。
最小值
微积分中判定最小值点的判据：一阶导数为零且二阶导数为正 。
在线性代数中多元函数 ，要取极小值需要二阶偏导数矩阵为正定矩阵。
如果能用平方和的形式来表示函数，则很容易看出函数是否恒为正：
如果 ，则；如果 ，则。
令 ，相当于使用 平面截取该函数图像，将得到一个椭圆曲线。另外，在 的马鞍面上截取曲线将得到一对双曲线。
再来看这个矩阵的消元， ，这就是 ，可以发现矩阵 中的项与配平方中未知数的系数有关，而主元则与两个平方项外的系数有关，这也就是为什么正数主元得到正定矩阵。
二阶导数矩阵，这个矩阵型为 ，显然，矩阵中的主对角线元素（纯二阶导数）必须为正，并且主对角线元素必须足够大来抵消混合导数的影响。同时还可以看出，因为二阶导数的求导次序并不影响结果，所以矩阵必须是对称的。现在就可以计算 阶矩阵了。
计算一个三阶矩阵， ，它是正定的吗？函数 是多少？函数在原点去最小值吗？图像是什么样的？
- 计算矩阵的顺序主子式，分别为 ；再来计算主元，分别为 ；计算特征值， 。
- 计算 。
- 图像是四维的抛物面，在 处截取该面，将得到一个椭圆体。一般椭圆体有三条轴，特征值的大小决定了三条轴的长度，而特征向量的方向与三条轴的方向相同。
将矩阵分解为 ，可以发现上面说到的各种元素都可以表示在这个分解的矩阵中，称之为主轴定理（principal axis theorem），即特征向量说明主轴的方向、特征值说明主轴的长度。
正定矩阵的逆矩阵有什么性质？
将正定矩阵分解为 ，引入其逆矩阵 ，正定矩阵的特征值均为正值，所以其逆矩阵的特征值也必为正值（即原矩阵特征值的倒数）所以，正定矩阵的逆矩阵也是正定的。
如果 均为正定矩阵，那么 呢？
从判定 入手，根据条件有 ，将两式相加即得到 。所以正定矩阵之和也是正定矩阵。
有 矩阵，具有什么性质？
在投影部分经常使用 ，这个运算会得到一个对称矩阵，这个形式的运算用数字打比方就像是一个平方，用向量打比方就像是向量的长度平方，而对于矩阵，有 正定：在式子两边分别乘向量及其转置得到 ，分组得到 ，相当于得到了向量 的长度平方，则。要保证模不为零，则需要 的零空间中仅有零向量，即 的各列线性无关（ ）即可保证 ，正定。
在矩阵数值计算中，正定矩阵消元不需要进行“行交换”操作，也不必担心主元过小或为零，具有良好的计算性质