特征值和特征向量 | 彩潭有鲤的札记

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矩阵乘以向量，就像是使用矩阵作用在向量上，最后得到新的向量。在这里，矩阵就像是一个函数，接受一个向量作为输入，给出向量作为输出。

在这一过程中，我们对一些特殊的向量很感兴趣，他们在输入()和输出()的过程中始终保持同一个方向（平行于，只是长度变了），这是比较特殊的。满足这个条件的称为特征向量（Eigen vector），这个平行条件用方程表示就是：

计算特征值为的特征向量，有，也就是特征值为的特征向量应该位于的零空间中。也就是说，如果矩阵是奇异的，那么它将有一个特征值为。

投影矩阵 的特征值和特征向量

用向量乘以投影矩阵得到投影向量，在这个过程中，只有当已经处于投影平面（的列空间）中时，与才是同向的，此时投影前后不变（）。

即：在投影平面中的所有向量都是投影矩阵的特征向量，他们的特征值均为。

观察投影平面的法向量（向量），对于投影，因为，所以，即特征向量的特征值为。

于是，投影矩阵的特征值为 。矩阵的所有特征向量张成了整个空间

一个例子：二阶置换矩阵，经过这个矩阵处理的向量，其元素会互相交换。特征值为的特征向量（即经过矩阵交换元素前后仍然不变）应该型为。特征值为的特征向量（即经过矩阵交换元素前后方向相反）应该型为。

对于一个的矩阵，将会有个特征值，而这些特征值的和与该矩阵对角线元素的和相同，因此把矩阵对角线元素称为矩阵的迹（trace）。

在上面二阶转置矩阵的例子中，如果求得了一个特征值，那么利用迹的性质，就可以直接推出另一个特征值是。

从而没有0特征值

若:

则:

对于方程，有两个未知数，移项得。

观察，右边的矩阵相当于将矩阵平移了个单位，而如果方程有解，则这个平移后的矩阵一定是奇异矩阵，有

这样一来，方程中就没有了，这个方程也叫作特征方程（characteristic equation）。有了特征值，代回，继续求的零空间即可。

一个简单的例子，，这是一个对称矩阵，将得到实特征值，前面还有置换矩阵、投影矩阵，矩阵越特殊，得到的特征值与特征向量也越特殊。看置换矩阵中的特征值，两个实数，而且它们的特征向量是正交的。

计算，也就是对角矩阵平移再取行列式。化简得。可以看到一次项系数与矩阵的迹有关，常数项与矩阵的行列式有关。

计算特征向量，，解出矩阵的零空间；同理计算另一个特征向量，，解出矩阵的零空间。

一个关于特征向量认识的误区：已知，有

当时，确实成立，但是如果为任意矩阵，则推论不成立，因为这两个式子中的特征向量并不一定相同，所以两个式子的通常情况是，它们也就无从相加了。

旋转矩阵的例子：

旋转的矩阵（将每个向量旋转）

对于矩阵，有，再来思考特征值与特征向量的由来，哪些向量旋转后与自己平行，于是遇到了麻烦，并没有这种向量，也没有这样的特征值来满足前面的方程组。

，于是特征值为，这两个值满足迹与行列式的方程组，即使矩阵全是实数，其特征值也可能不是实数，出现了一对共轭负数。

如果矩阵越接近对称，那么特征值就是实数。如果矩阵越不对称，就像本例，，这是一个反对称的矩阵，于是得到了纯虚的特征值，这是极端情况，通常我们见到的矩阵是介于对称与反对称之间的。

对于好的矩阵（置换矩阵）有实特征值及正交的特征向量，对于不好的矩阵（旋转矩阵）有纯虚的特征值。

一个更糟的情况，，这是一个三角矩阵，可以直接得出其特征值，即对角线元素：，于是。

带入特征值计算特征向量，带入得，算出一个特征值，当带入第二个特征值时，无法得到另一个与线性无关的特征向量了。

本例中的矩阵是一个退化矩阵（degenerate matrix），重复的特征值在特殊情况下可能导致特征向量的短缺。