正交矩阵和Gram-Schmidt正交化法type
status
date
slug
summary
tags
category
icon
password
Property
标准正交矩阵
满足如下条件的向量为标准正交向量（orthonormal）：
它们单位长度1，并且彼此正交，标准正交向量是线性无关的
将标准正交向量放入矩阵中，有 ，列向量为标准正交向量
计算得 ，为标准正交矩阵（orthonormal matrix）。
正交矩阵
一个标准正交的方阵称之为正交矩阵
当 恰好是方阵时，由于正交性，易得 是可逆的，又 ，所以 。
举个置换矩阵的例子：
，则 ，易得
再例如， ，列向量长度为 ，且列向量相互正交。
矩阵并不是正交矩阵，而通过调整得到的矩阵为正交矩阵，列向量长度为 ，且列向量相互正交。
令 ，取合适的 另列向量长度为 也可以构造标准正交矩阵：
这种构造方法以阿德玛（Adhemar）命名，对 阶矩阵有效。
再来看一个例子， ，列向量长度为 ，且列向量相互正交。格拉姆-施密特正交化法的缺点在于，由于要求得单位向量，所以我们总是除以向量的长度，这导致标准正交矩阵中总是带有根号，而上面几个例子很少有根号。
标准正交列向量的优势 Orthonormal columns are good
假设要做投影，将向量 投影在标准正交矩阵 的列空间中，根据公式得
易得 。因此当列向量为标准正交基时， 是投影矩阵，这种情况会降低很多运算量。极端情况，假设矩阵是方阵，而其列向量是标准正交的，则其列空间就是整个向量空间，而投影整个空间的投影矩阵就是单位矩阵，此时 。
可以验证一下投影矩阵的两个性质：
我们计算的，现在变为 ，也就是 ，分解开来看就是 ，这个式子在很多数学领域都有重要作用。当我们知道标准正交基，则解向量第 个分量为基的第 个分量乘以 ，在第 个基方向上的投影就等于。
Gram-Schmidt正交化法
两个线性无关的向量 ，先把它们化为正交向量，再将它们单位化，变为单位正交向量 ：
- 取定 向量的方向， ；
- 接下来将投影在 的法方向上得到 ，也就是求子空间投影中，我们提到的误差向量 ，即 。检验一下 ， 。（ 就是 。）
如果有三个线性无关的向量 ，则现需要求它们的正交向量 ，再将它们单位化，变为单位正交向量 ：
- 前两个向量我们已经得到了，现在需要求第三个向量同时正交于 ；
- 依然沿用上面的方法， 从 中减去其在 上的分量，得到正交与 的 ： 。
现在试验一下推导出来的公式， ：
- 根据公式有， 是比值 ，则 。验证一下正交性有 。
- 单位化， ，则标准正交矩阵为 ，对比原来的矩阵 ，有 的列空间是相同的，只是将原来的基标准正交化了。
我们曾经用矩阵的眼光审视消元法，有 。同样的也用矩阵表达标准正交化， 。设矩阵 有两个列向量 ，则标准正交化后有 ，而左下角的 始终为 ，因为Gram-Schmidt正交化总是使得 ，后来构造的向量总是正交于先前的向量。所以这个矩阵是一个上三角矩阵。