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离散型
设 为实值可测函数，则 是一个新的随机变量。我们需要去研究的概率分布。
给定离散随机变量 的 ，如何求得 ？
对离散随机变量 ，通用的方法是使用如下公式：
其中，
直观上， 是从样本空间 到新样本空间转换。 的可以通过定义为诱导概率函数，即为下述公式：
连续型
假设 是连续函数，则当是连续随机变量时， 也是连续随机变量。给定的 ，如何求解 的 ？
CDF方法
该方法的基本思想是首先求得的 ，然后对其求导得到 。
步骤一：
用 表述 :
其中
为 的一个子集，包含所有满足不等式的 。
此处的基本思想是，借助将关于的概率表述转换成关于的概率表述。
步骤二：
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数学期望
直觉上，期望是随机变量在大量独立重复随机试验中观测值的长期平均值
随机变量 的均值定义为：
其中，求和符号表示在离散随机变量 的支撑 上的所有可能取值求和。
均值实际上是的期望，又被称为的一阶矩，可视作一个 “位置“参数。均值度量了分布的中心位置。假设 表示某资产收益并且该资产收益的分布不随时间改变，则表示该资产的长期平均收益。
随机变量函数的数学期望
假设随机变量的或 为 ，则可测函数的期望为
若 ，则称 不存在。
为了避免收敛问题，要求离散随机变量满足 ；要求连续随机变量满足 。
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推断统计的概念
“推断统计”研究的是用样本数据去推断总体数量特征的一种方法。它是在对样本数据进行描述的基础上，对统计总体的未知数量特征做出以概率形式表述的推断。
为什么要进行推断统计？
在实际研究中，总体数据的获取往往是比较困难的，总体参数一般也是未知的。因此，我们就需要利用总体的某个样本，通过样本统计量去估计总体参数。基于这个需求，我们就需要学习推断统计。
参数估计、点估计和区间统计的概念
- 参数估计：用样本统计量去估计总体的参数。比如，用样本均值去估计总体均值，用样本方差去估计总体方差。
- 点估计：用样本统计量的某个取值，直接作为总体参数的估计值。点估计的常用方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等
- 区间估计：在点估计的基础之上，给出总体参数估计值的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减估计误差得到。
点估计
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假设检验的概念
假设检验，也称为显著性检验，指通过样本的统计量，来判断与总体参数之间是否存在差异(差异是否显著)。我们事先对总体参数进行一定的假设，然后通过收集到的数据，来验证我们之前作出的假设(总体参数)是否合理。
在假设检验中，我们会建立两个完全对立的假设，分别为原假设与备择假设。然后根据样本信息进行分析判断，是选择接受原假设，还是拒绝原假设(接受备择假设)。假设检验基于“反证法”。首先，我们会假设原假设为真，如果在此基础上，得出了违反逻辑与常理的结论，则表明原假设是错误的，我们就接受备择假设。否则，我们就没有充分的理由推翻原假设，此时我们选择去接受原假设。
第一类错误： 为真，但错误地拒绝了
第二类错误： 为假，但错误地接受了
假设检验的理论依据(小概率事件)
在假设检验中，违反逻辑与常规的结论，就是小概奉事件。我们认为，小概率事件在一次试验中是不会发生的。我们首先认为原假设为真，如果在此基础上，小概率事件发生，则我们就拒绝原假设，否则，我们就选择去接受原假设。
假设检验遵循“疑罪从无”的原则，接受原假设，并不代表原假设一定是正确的，只是我们没有充分的证据，去证明原假设是错误的，因此只能维持原假设。那么，假设检验中的小概率事件是怎么得出的呢？想想之前讲到的置信区间，是不是一切都验然开朗了？
“疑罪从无”很形象的说明的假设检验向我们传达的含义。也就是说，当我们没有充分的理由拒绝原假设，就必须接受原假设，即使原假设是错误的，但是你找不到证据证明原假设是错误的，你就只能认为原假设是对的。反之，经过一次随机试验，你如果找到了某个理由拒绝了原假设，那么原假设肯定就是错误的，这个是一定的。
P-Value值与显著性水平
假设检验，用来检验样本的统计量与总体参数，是否存在显著性差异。那么如何才算显著呢？我们就可以计算一个概率值P-Value，该概率值可以认为就是支持原假设的概率，因为在假设检验中，通常原假设为等值假设，因此，P-Value也就表示样本统计量与总体参数无差异的概率。然后，我们再设定一个阈值，这个阈值叫做“显著性水平 ” (使用表示)，通常的取值为(叫做置信度)。当P-Value的值大于时，接受原假设。当P-Value的值小于时，拒绝原假设。简单记为：p值越小越拒绝原假设。
假设检验和参数估计是推断统计的两个组成部分，都是利用样本对总体进行某种推断，但是两者进行推断的角度不同。参数估计讨论的是用样本统计量估计总体参数的一种方法，总体参数在估计前是未知的。而假设检验，则是对总体参数先提出一个假设，然后用样本信息去检验这个假设是否成立。
