马尔科夫矩阵、傅里叶级数

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马尔科夫矩阵是指具有以下两个特性的矩阵：

对于马尔科夫矩阵，我们关心幂运算过程中的稳态（steady state）。与上一讲不同，指数矩阵关系特征值是否为，而幂运算要达到稳态需要特征值为。

根据上面两条性质，可以得出两个推论：

使用公式进行幂运算

从这个公式很容易看出幂运算的稳态。比如取，其他的特征值绝对值均小于，经过次迭代，随着时间的推移，其他项都趋近于，于是时，有稳态，这也就是初始条件的第个分量。

证明第一个推论

取，则。列向量中元素之和均为，因为马尔科夫矩阵各列向量元素之和为，现在从每一列中减去了，所以这是很自然的结果。而如果列向量中元素和为，则矩阵的任意行都可以用“零减去其他行之和”表示出来，即该矩阵的行向量线性相关。

另外，矩阵与其转置的特征值相同。那么如果，则有，有，即。这正是特征值的计算式。

计算特征值所对应的特征向量，，得出，特征向量中的元素皆为正。

马尔科夫矩阵的应用

以人口迁移为例：

元素非负，列和为一

式子表示每年有的人口从加州迁往麻省，有的人口从麻省迁往加州。注意：使用马尔科夫矩阵的前提条件是随着时间的推移，矩阵始终不变。

设初始情况：，第一次迁徙后人口的变化情况：

计算特征值：马尔科夫矩阵的一个特征值为，另一个特征值可以直接从迹算出

计算特征向量：

带入求的零空间有，则，此时可以得出无穷步后稳态下的结果。且人口总数始终为，则，稳态时。注意到特征值为的特征向量元素皆为正。

为了求每一步的结果，必须解出所有特征向量。带入求出。

通过解出：

带入，得，解出。

另外，有时人们更喜欢用行向量，此时将要使用行向量乘以矩阵，其行向量各分量之和为

设为一组标准正交基，则向量在该标准正交基上的展开为

此时如果想要得到各系数的值，比如求的值，就要消掉除外的其他项，只需要等式两边同乘以，因为的向量相互正交且长度为，则，所以原式变为。

写为矩阵形式有

，即

所以，而标准正交基有，不需要计算逆矩阵可直接得出。对于的每一个分量有。

傅里叶级数的展开式：

傅里叶发现，如同将向量展开（投影）到向量空间的一组标准正交基中，在函数空间中，也可以做类似的展开。将函数投影在一系列相互正交的函数中。函数空间中的就是向量空间中的；函数空间中的就是向量空间中的；不同的是，函数空间是无限维的而我们以前接触到的向量空间通常是有限维的。

向量正交通常使用两向量内积（点乘）为零判断，向量的内积为：

对函数内积，同样需要计算两个函数的每个值之积而后求和，由于函数取值是连续的，所以函数内积为：

本例中，由于傅里叶级数使用正余弦函数，它们的周期都可以算作，所以函数点积可以写作：

检验一个内积：

项的系数是多少（ 是 的平均值）？

同向量空间中的情形一样，在等式两边同时做的内积，原式变为：

因为正交性等式右边仅有项不为零，进一步化简得：

。