随机变量的数字特征 | 彩潭有鲤的札记

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数学期望

直觉上，期望是随机变量在大量独立重复随机试验中观测值的长期平均值

随机变量的均值定义为：

其中，求和符号表示在离散随机变量的支撑上的所有可能取值求和。均值实际上是的期望，又被称为的一阶矩，可视作一个 “位置“参数。均值度量了分布的中心位置。假设表示某资产收益并且该资产收益的分布不随时间改变，则表示该资产的长期平均收益。

随机变量函数的数学期望

假设随机变量的或为，则可测函数的期望为

若，则称不存在。

为了避免收敛问题，要求离散随机变量满足；要求连续随机变量满足。

对于多元复合函数：

性质:

若和独立，则

假设存在，则：

距

随机变量的阶矩定义为：

随机变量的阶中心矩定义为：

方差和标准差

随机变量的方差为

其中是的支撑，称为的标准差。一般将称作二阶中心矩 (second central moment)，则称作的二阶矩 (second moment)。

性质:

与相互独立，则

一般有

二元联合分布下的期望

假设是实值可测函数，其中，是的支撑，则函数的期望定义为若，则称存在。

乘积矩

关于原点的第阶和第阶乘积矩定义如下类似的，第阶和第阶中心化乘积矩(central product moment)定义为

协方差

假设。变量与的协方差定义为非零协方差意味着与存在相关性，但是二者之间末必存在因果关系。

假设具有有限二阶矩，则

性质：

期望独立性

假设相互独立，则对任意可测可积函数及，有或者等价地证明: 因此，若和相互独立，则其任意线性和非线性可测变换均不相关。独立性排除了和之间的所有可能相关类型，而不相关仅意味着不存在线性关系。显然，独立性比不相关更强。因此，相互独立必然不相关，但是不相关并不意味着相互独立。

变异系数

分位数

分位数：假设的为。令，则分布的-分位数，记为，满足方程或者等价地当严格递增时，有其中，为的反函数。

若非严格增，将它的分位数定义为：假设几乎处处存在，则：

条件概率

，表示A发生的条件下，B发生的概率。

全概率公式:

Bayes公式:

注:上述公式中事件的个数可为可列个

乘法公式:

条件PDF

假设联合pdf是

定义：

定理：

条件期望

联合期望定义为：

条件期望定义为：

记为

注意：是自变量为的函数

又记是的函数，它本身是一个随机变量

全期望定理(law of total expactation)

也就是说，

条件均值

基于的条件均值定义为条件均值是取值为时的均值。

条件方差

方差定义为：

定理：

条件方差定义为：

右边代入定义，得到一个定理：

记是的函数，它本身是一个随机变量。得到一个定理：