数值积分 | 彩潭有鲤的札记

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矩形近似

将不会求解的问题抽象为简单的问题——即使这种抽象是不精确的，因此想到积分中值定理：

可以在内自由选择的值以近似估计，这一式子实际上是用一矩形来近似代替积分，因此称为矩形公式。特殊地，若时，上式被称为左矩形公式、右矩形公式和中矩形公式。

矩形近似本质上是用零次插值函数来代替

插值近似

使用对上的若干点进行次插值，得到插值函数，以来代替。易知次插值公式的截断误差为

时，是以轴、、、直线围出的梯形面积代替积分值，写作：

上式被称为梯形公式.

时，是以轴、、、抛物线围成的曲边梯形面积代替积分值，而抛物线由点确定，由Lagrange插值法可以写成：

其中是第点的Lagrange基.

积分易得：

上式被称为抛物线公式(Simpson公式).

彻底一般化，用次插值公式来近似，并将积分区间等分，得到个等分点，则近似的积分式有如下形式：

上述公式被称为阶Newton-Cotes积分公式，是一项的系数族，每一族的总和为1，其系数只与阶数有关

时，

时，

时，，Simpson' 公式

时，，Cotes公式

时，Newton-Cotes积分公式数值稳定.

代数精确度

使用插值函数来近似以求得积分，次插值函数可以完全精确刻画任意次的原函数，因此在这种情况下，由这个插值函数产生的积分估算方法将能精确求出任意次的原函数的任意定积分，故称这种估算方法具有次的代数精确度.

有时需要评价一积分估算方法的代数精确度，即可以令，对于逐个，判断是否严格与相等，能够相等的最高次数即为估算方法的代数精确度.

易知， 阶的Newton-Cotes积分公式至少有 次代数精确度，且可以证明， 阶的Newton-Cotes积分公式至少有 阶代数精度

Newton-Cotes积分方法的误差估计

Newton-Cotes积分方法基于插值法，而插值多项式具有余项：

其中，

两侧同时积分：

需要注意，此处的属与相关的量，不可直接作为常数提出积分表达式外。因此对于的梯形公式情况，由积分中值：

此为梯形公式的误差

使用更为复杂的方式可以得到Simpson公式的误差：

对Newton-Cotes积分方法的误差估计，即使是最简单的梯形公式之误差，也与积分区间长度的三次方成正比，是否可以通过缩减单次积分的长度，将整个区间上的积分化为若干小区间上积分之和来解决问题呢？

复化积分

经过上述的启发，我们将函数的积分域等分为个小区间，各区间长度为，在每一段上分别使用插值法求积，再将其加和.

复化梯形公式

对于复化区间，梯形公式写作：

则全域的积分可以表示为：

上式称为复化梯形公式.

误差分析

在每一段上，复化梯形公式产生误差：

则总的误差为各段误差之和：

由离散的中值定理(均值公式)：

复化Simpson公式

对于内部有一额外点的复化区间，Simpson公式写作：

故全域的积分可以写作

类似地，复化Simpson公式拥有误差

复化积分的逐次分半算法

假设在实际计算中，需要将误差控制至某一范围，而区间越细分则误差越小，故可以逐个增多区间数来搜索出满足误差要求的答案。但在足够大时，每增加1所导致的减小之幅度很小，故考虑每次将翻一倍。

而目前为止，每一次取到新的，我们都必须重新计算一遍复化公式，这是很低效的，因此以梯形公式为例，考察与等分的梯形公式和的关系：

作如下计算可得：

其中为所有新增点的点集。

如此可以方便求出分半后的新梯形公式值：

其中为所有新增点函数值之和。

逐次分半法有另一好处，即可以仅凭借估计值求得误差，故这种误差估计被称为后验误差估计

逐次分半算法-后验误差估计

我们有一种直觉：将翻一倍时，距离真实值的误差会定量变化，因此考虑与等分的梯形公式和所产生的误差（记真实的积分值为）：

是由均值公式而来，而当充分大时，可以被认为能较为精确刻画在上的均值，因此：

即：

得到

如此得到了可以在实际中使用的误差估计法。

同样，Simpson公式也有后验的误差序列：

逐次分半加速，Romberg求积公式

由梯形公式的后验误差估计，可以得到

这提示我们，通过计算可能会得出更精确的解。

以的情形观察：

则

注意到上式等号右侧恰为情形下的复化Simpson公式 .

实际上，可以证明，即和分割的两复化梯形值可以通过线性组合转化为复化Simpson值. 而这个转化过程将误差由缩小到

同样地，有复化Cotes值：，误差，复化Romberg值，如此可无限外推。

这一过程提示我们，可以通过组合两"较低级的"复化估计值来生成一"较高级的"的复化估计值，以缩减误差.

Gauss求积

以上是对基于等距节点插值多项式的数值积分的讨论，我们发现，以次插值多项式拟合积分，最多能提供次代数精度，这个代数精度是不令人满意的，因此需要一更高代数精度是估计方法.

对于某带权函数(不带权也无所谓)的代数精确条件可以一般化描述如下：

对于个插值点，上式有个待定系数( 个，个 )，因此分别取代入其中，得到方程组(注意：这一方程组并非简单的线性方程组，写为矩阵形式仅为表示方便，实际上还有基于算符的表示，但是理解起来不那么直观)：

条关系和个自由度，一定能得到一组和的解. 这表明次多项式最高可以拥有次代数精度.

解出的这组称为Gauss点，将和代入得到的公式被称为Gauss求积公式，Gauss求积公式的求法就是解上述的方程.

但这样的方程是非线性方程，而且体量庞大，故我们希望得到更简单的求解法，至少可以求出Gauss点集.

正交多项式求法

可以证明，对于估算方法，其节点族是Gauss点当且仅当与任意次多项式在上关于权函数正交.

因此可以构造(可用正交化方法)一个与任意次多项式正交的次多项式，解出的个根，即为Gauss点集.

在Gauss点集求出后，于方程中抽取若干行求出系数族

Gauss-Legendre求积公式

考察在上的任意权为1、锚点数为的积分：

时，，则

时，，则

时，

上述公式系列被称为Gauss-Legendre求积公式，更高次数的Gauss-Legendre求积公式参数可以查表得知.

Gauss-Chebyshev求积公式

考察在上的任意权为、锚点数为的积分：

其Gauss点系为，求积系数恒为

Gauss-Laguerre求积公式

考察在上的任意权为、锚点数为的积分，

其Gauss点系为的零点，求积系数为

Gauss－Hermite求积公式

考察在上的任意权为、锚点数为的积分，

其Gauss点系为之零点，求积系数为