常微分方程的数值解type
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对于一个附带了初值条件(否则将无法定义的截距)的一阶常微分方程：
求函数 在若干点 的函数值
假定方程右侧的多项式 是连续的，且关于 满足比连续更为高级的条件Lipschitz连续条件(收缩映射)：
只要满足Lipschitz条件，存在单解
一阶近似法
既然只需要在离散的点集上进行求算，故上述方程便允许一定程度上的信息损失，而这种近似操作的首选目标便是微分或积分算子：
导数的差商近似
使用"向前的"差商来近似方程中的导数项，有
故由式子初值 可迭代求出所有的
本质上是一种基于Taylor公式的线性近似，称为Euler方法
积分的数值积分近似
上述方程还可以写作：
两侧积分：
再以矩形公式近似上述积分值：
故由初值 可迭代求出所有的
高阶近似法 Euler方法
上述对于微积分的近似始终只基于单点函数值来预测，这导致了精度的下降，因此尝试使用两点的函数值来预测。
考查前向差商，将其近似为导数：
于是：
以此类推，可以得到：
因为该式可以直接通过前一项计算得到后一项的值，因此该式又称为显式Euler法。
既然考虑了前向差商，当然还可考虑后向差商：
于是:
即：
因为未知数出现在等式两侧，不能直接得到，故称为隐式Euler法。
根据上述两种Euler方法，又可以对两种方法取平均，即得到：
该方法又称为梯形格式。
其实，显式Euler法的精度没有那么高，但是隐式Euler法又需要解方程得到，因此又有了一种改进的方法，即先用显式欧拉公式作预测，得到：
然后再将预测结果 代入隐式Euler法中，得到：
然后对二者取平均，得到：
写成 与 的关系式即为:
该方法称为改进Euler法，因为进行了预测-校正的步骤，因此又称预测-校正法。
基于该思路，我们又可以将这样的改进方法进行延伸：
其中， 。且 为所取得的 值的个 数。这种方法称为Runge-Kutta方法。特别的，当 时是经典的Runge-Kutta方法:
很显然，上述的几种方法都是单步法，判断标准为：计算 时只用了前一步的信息 。
除了以上几种单步法，还有一种方法，即用中心差商来近似导数:
即得到：
即有：
显然这种方法不是单步法，但是也比较简单，计算 需要用到前两步的信息 ，因此称为两步法。
局部截断误差和方法的阶
单步法可以写成以下形式：
若 中含有 ，则方法是隐式的，否则是显式的。
从 开始计算，如果考虑每一步产生的误差，直到 ，则有误差 ，称为方法在点的整体截断误差。分析和求得整体截断误差 很复杂，为此仅考虑从到的局部情况，并假设之前的计算没有误差，即。此时，
即为单步法 的局部截断误差。而且若
则该方法是 阶方法，具有 阶精度。
求局部截断误差的步骤如下:
- 局部化假设，即令
- 将 在 处Taylor展开
- 将 在 处Taylor展开
- 计算
例如：显式Euler法的局部截断误差和显式Euler法的阶
其主项为 ，即 ，因此显式Euler法的阶为 1
单步法的收敛性与稳定性
收敛性
对于任意固定的 ，当 (必然会有 ) 时，单步法产 生的近似解 均有
则该方法是收敛的。
稳定性
若一种数值方法在节点值 上有大小为 的扰动，而以后各节点值 上 产生的偏差均不超过 ，则该方法是稳定的。或者说，若某算法在计算过程中任一步产生的误差 在以后的计算中都逐步衰减，则称该算法是稳定的。
在一般分析时，只考虑试验方程:
任意一种单步法都可以用试验方程表示出来。其中 .于是可以得到:
若 ，则该单步法是绝对稳定的。在复平面内满足 的区域是绝对稳定区域。该区域与实轴的交点为绝对稳定区间。
例如：显式Euler法的绝对稳定区间
于是 ，得绝对稳定区间为：
即：
或者写成：