差/微分方程和指数矩阵type
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差分方程
从开始， ，所有 ，本例是一个一阶差分方程组。
要解此方程，需要将展开为矩阵特征向量的线性组合，即
于是
继续化简原式， 。用矩阵的方式同样可以得到该式： 。
那么如果要求 ，则只需要将 变为 ，而系数 与特征向量 均不变。
当真的要计算 时，就可以使用 。
一个斐波那契数列（Fibonacci sequence）的例子：
这个数列并不是稳定数列，因此特征值并不都小于一，这样才能保持增长。而他的增长速度，则由特征值来决定。
已知，但这不是 的形式，而且我们只要一个方程，而不是方程组，同时这是一个二阶差分方程（就像含有二阶导数的微分方程，希望能够化简为一阶倒数，也就是一阶差分）。
使用一个小技巧，令 ，再追加一个方程组成方程组： ，再把方程组用矩阵表达得到 ，于是得到了 ，把二阶标量方程（second-order scalar problem）转化为一阶向量方程组（first-order system）。
矩阵是一个对称矩阵，所以它的特征值将会是实数，且他的特征向量将会互相正交。
观察 ，与斐波那契数列的递归式 比较，发现这两个式子在项数与幂次上非常相近。
用求根公式解特征值得 ，得到两个不同的特征值，一定会有两个线性无关的特征向量，则该矩阵可以被对角化。
观察这个数列是如何增长的，数列增长由什么来控制？——特征值。
哪一个特征值起决定性作用？——较大的一个。
在幂增长中趋近于 ，所以近似的忽略该项，剩下较大的项，可以说数量增长的速度大约是 。这种问题与求解 不同，这是一个动态的问题， 的幂在不停的增长，而问题的关键就是这些特征值。
求解特征向量
，因为有根式且矩阵只有二阶，直接观察 ，由于 ，则其特征向量为，即
最后，计算初始项 ，现在将初始项用特征向量表示出来 ，计算系数得 。
回顾整个问题，对于动态增长的一阶方程组，初始向量是 ，关键在于确定 的特征值及特征向量。特征值将决定增长的趋势，发散至无穷还是收敛于某个值。接下来需要找到一个展开式，把 展开成特征向量的线性组合。
再下来就是套用公式，即 的 次方表达式 ，则有 ，代入特征值、特征向量得
最终结果为 ，原式的通解为 。
微分方程
方程组，系数矩阵，初始条件
这个初始条件的意义可以看做在开始时一切都在 中，但随着时间的推移，将有 ，因为 项初始为正， 中的事物会流向 。随着时间的发展可以追踪流动的变化。
特征值与特征向量
，这是一个奇异矩阵，，另一个特征值可以从迹得到 。
求特征向量： 时，求的零空间，； 时，求 的零空间， 的零空间为 。
方程组的通解为： ，通解的前后两部分都是该方程组的纯解，即方程组的通解就是两个与特征值、特征向量相关的纯解的线性组合。
- 差分：解时得到
- 微分：解 得到
继续求
时， ，所以
最终结果：
稳定性：这个流动过程从 开始，初始值的一部分流入初始值 中，经过无限的时间最终达到稳态 。所以，要使得 ，则需要负的特征值。
如果特征值为复数呢？
如 ，计算 ，其中的 部分为 ，因为这部分的模为 ，这个虚部就在单位圆上转悠。所以只有实数部分才是重要的。所以可以把前面的结论改为需要实部为负数的特征值。实部会决定最终结果趋近于或 ，虚部不过是一些小杂音。
收敛态：需要其中一个特征值实部为，而其他特征值的实部皆小于 。
发散态：如果某个特征值实部大于 。上面的例子中，如果将 变为 ，特征值也会变号，结果发散。
进一步，如何直接判断任意二阶矩阵的特征值是否均小于零。
对于二阶矩阵 ，矩阵的迹为 ，如果矩阵稳定，则迹应为负数。但是这个条件还不够，有反例迹小于依然发散： ，迹为但是仍然发散。还需要加上一个条件，因为，所以还需要行列式为正数。
总结：原方程组有两个相互耦合的未知函数， 相互耦合，而特征值和特征向量的作则就是解耦，也就是对角化（diagonalize）。回到原方程组 ，将 表示为特征向量的线性组合 ，代入原方程有 ，两边同乘以 得 。以特征向量为基，将 表示为 ，得到关于 的对角化方程组，新方程组不存在耦合，此时 ，这是一个各未知函数间没有联系的方程组，它们的解的一般形式为 ，则原方程组的解的一般形式为 。
指数矩阵
上面引出了 ，这种指数部分带有矩阵的情况称为指数矩阵（exponential matrix）。
将指数形式展开称为幂级数形式，就像 一样
将 展开成幂级数的形式为：
两个极具美感的泰勒级数： 与
把第二个泰勒级数写成指数矩阵形式，有 ，这个式子在非常小的时候，后面的高次项近似等于零，所以可以用来近似 的逆矩阵，通常近似为 ，当然也可以再加几项。第一个级数对我们而言比第二个级数好，因为第一个级数总会收敛于某个值，所以 总会有意义，而第二个级数需要特征值的绝对值小于 （涉及矩阵的幂运算）。
回到正题，需要证明 ，继续使用泰勒级数：
需要注意的是，的泰勒级数展开是恒成立的，但我们推出的版本却需要矩阵可对角化这个前提条件。
将 变为对角矩阵就是因为对角矩阵简单、没有耦合，
有了，再来看矩阵的稳定性可知，所有特征值的实部均为负数时矩阵收敛，此时对角线上的指数收敛为 。如果画出复平面，要使微分方程存在稳定解，则特征值存在于复平面的左侧（实部为负）；要使矩阵的幂收敛于 ，则特征值存在于单位圆内部（模小于 ），这是幂稳定区域。
同差分方程一样，对于二阶情况，有
模仿差分方程的情形，构造方程组
写成矩阵形式有 ，令 。
继续推广，对于 阶微分方程 ，可以写作
这样就把一个五阶微分方程化为 一阶方程组了，然后就是求特征值、特征向量了