函数逼近与曲线拟合type
status
date
slug
summary
tags
category
icon
password
Property
函数逼近问题给出一目标函数 ，希望提出一(容易处理的)近似函数 来代替 ，以近似刻画并简化对 的诸多运算.
而插值问题是给出一系列点 ，希望提出一拟合函数 以近似刻画这些点所隐含的函数关系 .
函数逼近法的总体过程
- 提出近似函数 的形式并预留一些待定系数
- 使用某种误差估计手段写出误差关于上述待定系数 的关系
- 通过最小化误差 求出
由于其有着便于计算的性质，通常使用多项式函数 来进行拟合，同时使用最小二乘法来描述误差
在某些情况下，可能会将自变量 映射为其它的函数，如设置原型 逼近，则可以对逼近点列进行变换如
内积空间
权函数 :
- 存在
- 若 ，有 ，则
和的内积定义为：
易知：
定义的欧式范数为：
则又有以下性质：
若和有：
则 和 带权正交。对于函数族 ，若有
则称函数族 为正交函数族。若还有 ，则称之为标准正交函数族。
与向量一样，对内积空间的任一元素 也可由一组线性无关的基来表示。若 ，且
当且仅当 成立，则 线性无关， 为线性无关函数族。
线性无关的充要条件为其Crammer行列式 。
函数的最佳平方逼近
要求 的最佳平方逼近 ，使得
其中 是由基函数的线性组合构成的，由此扩展可以得到更一般化的方法，即 由基函数
线性组合而成，此时 。要求 ，可将问题转化为：
求 的最小值。由极值条件可得：
化简可得：
于是有：
平方误差
若取基函数 ，则有：
此时可以大大简化计算。但是该方法有个弊端，即时系数矩阵为病态矩阵，计算结果不可信。因此，为了解决这个弊端，可以利用正交多项式系来作为基函数。
正交多项式
正交多项式的定义：
则 在 上带权正交， 称为上的带权的次正交多项 式。多项式系是上的带权正交多项式系的充要条件是:
任意次数不超过次的多项式都与带权正交。
它的性质：
为 上的正交多项式序列，其中 为 次正交多项式。
- 是线性无关的
- 的零点都是单重实根
Legendre多项式
Legendre多项式定义在上，权函数有：
首一的Legendre多项式表示为：
Legendre多项式的重要性质：
- 递推关系：
- 在内有个互异实零点
- 在所有最高项系数为1的次多项式中，Legendre多项式 在上与零的平方误差最小
Chebyshev多项式
Chebyshev多项式定义在上，权函数有：
Chebyshev多项式的性质：(常以多项式的形式表示，即令 )
- 递推关系：
- 在 内有个互异实零点
- 只有 的偶数次幂， 只有 的奇数次幂。
用正交函数系作最佳平方逼近
若用正交函数系作最佳平方逼近，则系数矩阵为对角矩阵。因为：
因此，可将方程组用矩阵表示成：
此时可直接解出. 例如用Legendre多项式系作最佳平方逼近，则
有：
平方误差：
若积分区间不在 上，则做变换将其转化到 上。
最小二乘拟合
与最佳平方逼近类似，此处的背景为， 很 大，且 为测量值，即 。即要取 使得 最小。
即：给定 及权函数 ，在 中找出:
接下来的分析方法与连续函数的平方逼近类似，得到的方程组为：
此处的内积定义为：
最小平方误差为：
用多项式进行最小二乘拟合
取 ，则
若再令 ，则有: