四个基本子空间 | 彩潭有鲤的札记

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以列为主的视角将矩阵乘法视为对矩阵的列向量进行线性组合。

线性组合，即线性+组合，线性是指向量乘以一个标量，沿着向量的方向缩放，方向不变；组合是把多个向量加起来。

列空间由矩阵的列向量线性组合填充而成，记为

线性代数的初心和核心之一是求解，是的矩阵，以列向量表示：，和分别是和的向量，位于的列空间时，一定存在解将表达为的列向量线性组合。

若位于的列空间之外，变成了线性回归问题，列向量无论进行怎样的线性组合都不可能组合出平面外的。于是不得不退而求其次，找一个近似解，使尽量靠近，但必须在平面（列空间）内，显然，在平面内的投影是平面内离最近的那个点。

对矩阵右乘和左乘向量本质上是相同的，相差一个转置：，也许就是因为这个原因，行空间没能像列空间那样，拥有属于自己的“名分”，只是用列空间的符号+转置来表示。

对于行空间：

由于做了行变换，所以的列空间受到影响，，而行变换并不影响行空间，所以可以在中看出前两行就是行空间的一组基。

所以，可以得出无论对于矩阵还是，其行空间的一组基，可以由矩阵的前行向量组成（这里的就是简化行阶梯形式）。

RREF过程的可视化：

零空间，也称线性映射的核(Kernel)

不同于行列空间的关注是中的，零空间关注的是的空间，该空间中的任何向量都是齐次线性方程组的解，零空间与线性代数的核心问题中的求解密切相关。

可以看成是的个行向量与点积的结果等于0，这意味所有的行向量与都是正交的，即：行空间与零空间正交，

零空间在求解非齐次线性方程组中起到重要作用，假设和是非齐次线性方程组的两个解，那么：，即位于的零空间中。

因此，完整的解可以表述为两个部分相加：

用几何语言来表述：的解是在特解的基础上平移的零空间

零空间为啥被称为“核”(Kernel)呢？

核的意思是“核心”，即位于内部的中心，笛卡尔坐标系的中心是原点。

矩阵的核由定义域空间映射到值域空间的中心(原点)的所有向量所组成，这也从另一个角度解释了的解是特解+零空间(核)

右乘即得到了零空间，那么让左乘，使，会得到什么呢？左零空间！

有人看排在矩阵的前(左)面不顺眼，给安排了一个转置，于是变成了

对于左零空间，有，因此得名。

左零空间与列空间正交：

采用Gauss-Jordan消元，将增广矩阵中的部分划为简化行阶梯形式，此时矩阵会将所有的行变换记录下来。

则，当是阶可逆方阵时，即是，所以就是：

则

很明显，式中的最后一行对的行做线性组合后，得到的最后一行，即向量，也就是。