误差type
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误差的来源
- 模型误差：由计算方法或计算模型的不严格而引入
- 观测误差：生产实践中由于测量精度的不足而引入的测量误差
- 截断误差：对于将连续问题/无限问题近似为离散问题/有限问题而进行的“差分”或“舍去高阶无穷小项”等操作而引入的计算误差
- 舍入误差：对于利用计算机求解的问题，计算机最长字长限制了有效数字位数，故进行舍入而引入的误差
绝对误差和绝对误差限
约定物理量的真实值记为 ，其观测值记为。那么，值 称为绝对误差
绝对误差的绝对值上界称为绝对误差限
这样就可以将真实值表达为：
相对误差和相对误差限
约定物理量的真实值记为 ，其观测值记为. 那么，我们将值称为相对误差 。相对误差之绝对值的上界称为相对误差限
实际上，绝大多数情况下，物理量的真实值 是不可知的，因此可以将相对误差近似地计算为 。
绝对误差限和相对误差限之间的关系：
有效数字
兹定义：若 的绝对误差限可以是 某一位上数字的半个单位，且该位直到 的首个非零数字一共有 位数字，则称近似值有位有效数字.
分析地描述：设置测量值 被 进制表示，将其从小数点后的第 位称为“最后一位有效数字”当且仅当 满足如下条件：
此时 具有 位有效数字当且仅当其首个非零数字到小数点之后第 位数字中共有 个数字.
对于常用的十进制情况：
另一等价定义
将以 进制表示的测量值 按照数位转写为如下的标准形式：
称 具有 位有效数字当且仅当：
有效数字位数与首位数字的关系
若以 进制表示的估计值 有 位有效数字，则
证明
若以 进制表示的估计值 的相对误差限可以取到：
那么 至少具有 位有效数字
证明
上述的“可以取到”意味着
又
解出
四舍五入近似法，有效数位的简单理解
一个例子：以 和 近似 ，试分别计算其有效数字
解 由 得知：
故 具有4位有效数字
同理，
故 具有5位有效数字
直观地来看，上例中 进行了错误的四舍五入近似操作，而 进行了正确的四舍五入近似操作，这似乎导致了 在上述的定义中具有更多的有效数字。这种看法不失为一种对于有效数字定义的理解，结合中学物理中学习到的"估读位数也算有效数字"的结论，以科学哲学的眼光来看，可以这样理解有效数字的定义：在实际生产实践的测量操作中，由于人眼的某种固有属性或者人脑的某种固有价值，判断"测量值是否超过了最小刻度的1/2"有着较强的能力。
因此在数学中，将上述的价值从生产中抽离出来，将"是否准确估读至1/2"理性衍生为"误差是否大于某一位上数字的半个单位"，作为了有效数字的判断依据.
数值运算的误差估计
设近似数 与的误差限分别为 与 ，则他们的四则运算后的误差限为：
对于，计算时的误差限为：
误差的传播
兹定义误差传递模式：对于一个对映关系 ， 的误差表示为：
若在点 附近可微，且假定 ，即可提出误差传递的近似计算方式：
由中值定理：
已经假定 ，因此：
若将 维向量 展开为实数形式，则
同理推导相对误差的传递：
为了形式上的对称，将 转写为 ，有
计算方法的数值稳定性
若误差在计算过程中越来越大，则算法不稳定，即初始误差在计算中传播导致误差增长很快；否则算法是稳定的。
例如计算：
第一个算法是不稳定的，因为误差，误差随迭代次数而增加
第二个算法是稳定的，因为误差 ，误差会逐渐减小
在实际计算中应注意如下可能会使误差急剧增长的操作：
- 避免两个相近的数相减
在 时， 与 的相减操作可能会得到相对误差非常大的结果.
因此，在当 相当大时，计算如下等式时应进行变换：
- 优先计算较小数
在利用计算机浮点数时，应优先计算较小数
上述两个变量
res1和res2会得到一个不同的数值，而在数学上，它们理应是相等的.- 避免小数除大数
- 简化运算次数