线性方程组type
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克莱姆法则
线性方程组 ,如果系数行列式 ,则方程组有唯一解, ，其中 是把 中第 列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式.
阶矩阵 可逆 只有零解. 总有唯一解,一般地, 只有零解.
非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构
1.设 为 矩阵,若 ,则对 而言必有 ,从而 有解.
2.设 为 的解,则 当 时仍为 的解;但当 时,则为 的解.特别 为 的解; 为 的解.
3.非齐次线性方程组 无解 不能由 的列向量 线性表示.
奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解
- 齐次方程组 恒有解(必有零解).当有非零解时,由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量,因此 的全体解向量构成一个向量空间,称为该方程组的解空间,解空间的维数是 ,解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系.
- 是 的基础解系,即:
是 的解;
线性无关;
的任一解都可以由 线性表出. 是 的通解,其中 是任意常数.
求解 ，主变量，特解
举例： 矩阵，求奇次线性方程组的特解
找出主变量（pivot variable）：
主变量（下划线元素）的个数为2，即矩阵的秩（rank）为2， 。
主变量所在的列为主列，其余列为自由列。自由列中的变量为自由变量，自由变量的个数为 ，即列的数目减去主元列的数目。
主元列和自由列的一个重要区别：自由列可以表示为其左侧所有主元列的线性组合，而主元列则不可以
特解 Special solutions
通常，给自由列变量赋值，去求主列变量的值：
令求得特解 ；再令 求得特解。
矩阵的零空间就是这些“特解”向量的线性组合所构成的向量空间
行最简阶梯矩阵 Reduced row echelon form （rref）
该例还能进一步简化，即将 矩阵化简为矩阵，即简化行阶梯形式。
在简化行阶梯形式中，主元上下的元素都是 ：
将矩阵中的主变量放在一起，自由变量放在一起（列交换），得到：
其中为单位矩阵， 为自由变量组成的矩阵
原方程 变为求解的主元行乘以：
将 的特解作为列向量写成一个矩阵 ，即零空间矩阵（nullspace matrix）:
零空间矩阵，其列为特解，有 。
在本例中，进行逆变换(三行和二行交换)，可得：
与上面求得的两个 特解一致。
另一个例子，矩阵
矩阵的秩仍为 ，有 个主变量， 个自由变量。取自由变量为 ，求得特解
总结
的零空间是 中 的解组成的集合
解法1：
- 消元，将矩阵化为行阶梯矩阵 ，得出自由列个数
- 自由列一个个赋1，其他皆0，求解方程，得出自由列个数个特解
- 特解的线性组合就是的零空间
解法2：
- 消元，将矩阵化为行最简阶梯矩阵
- 通过某些列变化将化成如下形式：
- 得到解：
- 若进行了列变化，则最后的解要完成逆变换
求解 ：可解性和解的结构
矩阵，求 的特解
写出其增广矩阵 ：
显然，有解的必要条件为 。
满足什么条件才能让方程 有解：当且仅当 属于的列空间时。
另一种描述：如果的各行线性组合得到行，则分量做同样的线性组合，结果也为时，方程才有解。
在本例中令
通解与特解
为求得 的所有解，首先检验方程是否可解，然后找到一个特解。将特解和矩阵零空间的向量相加即为方程的通解。
求特解的方法是将自由变量均赋值为0，求解其主变量。
令所有自由变量取 ，则有 ，解得
代入求得特解：
令成立的所有解：
即的解集为其特解加上零空间，对本例有：
秩 Rank
对于 矩阵 ，有矩阵的秩
列满秩 情况：
，要使 有非零解， 必须取 中各列的线性组合，此时A的零空间中只有向量。
行满秩 情况：
， ，因为此时 的列空间为 ， 恒成立，组成 的零空间的自由变量有n-r个。
行列满秩情况： ，如
最终可以化简为 ，其零空间只包含 向量。
总结：