传染病模型type
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传染病的数学模型是数学建模中的典型问题，标准名称是流行病的数学模型（Mathematical models of epidemic diseases）。建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，研究传染病的传播速度、空间范围、传播途径、动力学机理等问题，以指导对传染病的有效地预防和控制，具有重要的现实意义。
不同类型传染病的传播具有不同的特点，传染病的传播模型不是从医学角度分析传染病的传播过程，而是按照传播机理建立不同的数学模型。
首先，把传染病流行范围内的人群分为 S、E、I、R 四类，具体含义如下：
- S 类（Susceptible），易感者，指缺乏免疫能力的健康人，与感染者接触后容易受到感染；
- E 类（Exposed），暴露者，指接触过感染者但暂无传染性的人，适用于存在潜伏期的传染病；
- I 类（Infectious），患病者，指具有传染性的患病者，可以传播给 S 类成员将其变为 E 类或 I 类成员；
- R 类（Recovered），康复者，指病愈后具有免疫力的人。如果免疫期有限，仍可以重新变为 S 类成员，进而被感染；如果是终身免疫，则不能再变为 S类、E类或 I 类成员。
常见的传染病模型按照传染病类型分为 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型等，就是由以上四类人群根据不同传染病的特征进行组合而产生的不同模型
SI模型
SI 模型的适用范围
SI 模型适用于只有易感者和患病者两类人群，且无法治愈的疾病，例如 T型病、僵尸。
SI 模型的假设
- 考察地区的总人数 N 不变，即不考虑生死或迁移；
- 人群分为易感者（S类）和患病者（I类）两类；
- 易感者（S类）与患病者（I类）有效接触即被感染，变为患病者，无潜伏期、无治愈情况、无免疫力；
- 每个患病者每天有效接触的易感者的平均人数（日接触数）是 ，称为日接触率；
- 将第 t 天时 S类、I 类人群的占比记为 ，数量为 ；初始日期时， S类、I 类人群占比的初值为
SI 模型的微分方程
由
得：
这是 Logistic 模型，用分离变量法可以求出其解析解为：
SI 模型的 Python 编程
SI 模型的解析解
上文已经得到 SI 模型的解析解，对此很容易通过 Python 编程实现
SI 模型的数值解
SI 模型是常微分方程初值问题，可以使用 Scipy 工具包的
scipy.integrate.odeint() 函数求数值解
图中对解析解（蓝色）与使用 odeint() 得到的数值解（红色）进行比较。在该例中，无法观察到解析解与数值解的差异，表明数值解的误差很小。
图中 具有最大值，最大值表示疫情增长的高潮，达到最大值后 逐渐减小，但患病者比例很快增长到 100%，表明所有人都被感染成为患者。
SI 模型参数的影响
日接触率对 SI 模型的影响
对不同日接触率的比较表明：
- 日接触率越大，疫情从发生到爆发的时间越短，爆发过程的增长速度也越快。
- 不论日接触率多大，患病者的比例最终都会增长到 1，表明所有人都被感染成为患者。
- 不论日接触率多大，都具有缓慢发展、爆发、增长放缓 3 个阶段，进入爆发阶段后患病者的比例急剧增长，疫情就很难控制了。
患病者比例的初值对 SI 模型的影响
对患病者比例初值的比较表明，患病者初值的人数或比例只影响疫情爆发期到来的快慢，对疫情传播的过程和结果几乎没有影响。
这与我们直观的经验不太一致，一个原因是 SI 模型本身存在不足，另一方面也说明如果对传染病不加控制，即使开始患病人数很少，经过一段时间的传播后也终将会引起爆发。
- 在 时 达到最大值，病人数目 增加最快。由此可以预报传染病高潮的到来，即为医院的门诊量最大的一天，卫生部门要重点关注。
- 与 成反比。日接触率 反映卫生水平、防控手段，提高卫生水平、强化防控手段，降低病人的日接触率，可以推迟传染病高潮的到来。
- 当 时 ，表明所有人最终都会被传染而变成病人。这完全不符合实际情况，表明该模型太不讲 politics 了，只能适用于美帝国家建模
- SI 模型非常明显而严重的缺陷，是该模型没有考虑患病者可以治愈，因此只能是健康人患病，而患病者不能恢复健康（甚至也不会死亡，而是不断传播疫情），所以终将全部被传染。
SIS 模型
SI 模型把人群分为易感者（S类）和患病者（I类）两类，易感者（S类）与患病者（I类）有效接触即被感染，变为患病者，无潜伏期、无治愈情况、无免疫力。
SI 模型适用于只有易感者和患病者两类人群，且无法治愈的疾病。
按照 SI 模型，最终所有人都会被传染而变成病人，这是因为模型中没有考虑病人可以治愈。因此只能是健康人患病，而患病者不能恢复健康（甚至也不会死亡，而是不断传播疫情），所以终将全部被传染。
SIS 模型
SIS 模型将人群分为 S 类和 I 类，考虑患病者（I 类）可以治愈而变成易感者（S 类），但不考虑免疫期，因此患病者（I 类）治愈变成易感者以后还可以被感染而变成患病者。
SIS 模型适用于只有易感者和患病者两类人群，可以治愈，但会反复发作的疾病，例如脑炎、细菌性痢疾等治愈后也不具有免疫力的传染病。
SIS 模型假设：
- 考察地区的总人数 N 不变，即不考虑生死或人口流动；
- 人群分为易感者（S类）和患病者（I类）两类；
- 易感者（S类）与患病者（I类）有效接触即被感染，变为患病者；患病者（I类）可被治愈而变为易感者，无潜伏期、无免疫力；
- 每个患病者每天有效接触的易感者的平均人数（日接触数）是 ，称为日接触率；
- 每天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例为 ，即日治愈率；
- 将第 天时 类、$$I$$ 类人群的占比记为 、 ，数量为 、 ；初始日期 时， S类、I 类人群占比的初值为 ,
需要说明的是，不考虑生死或人口流动，通常是由于考虑一个封闭环境而且假定疫情随时间的变化比生死、迁移随时间的变化显著得多, 因此后者可以忽略不计。
SIS 模型的微分方程：
由
得：
由日治愈率 μ 可知平均治愈天数为 1/μ，也称平均传染期。定义 σ=λ/μ，其含义是每个病人在传染期内所传染的平均人数，称为传染期接触数。例如，平均传染期 1/μ=5，日接触率 λ=2（每天传染 2人），则传染期接触数 σ=10。
SIS 模型的解析解为：
图中对解析解（蓝色）与使用 odeint() 得到的数值解（红色）进行比较。在该例中，无法观察到解析解与数值解的差异，表明数值解的误差很小。
本图也比较了对相同日接触率和患病者初值下 SI模型与 SIS模型进行了比较。SI 模型更早进入爆发期，最终收敛到 100%；SIS 模型下进入爆发期较晚，患病者的比例最终收敛到某个常数（与模型参数有关）。
SIS 模型参数的影响
对于 SIS 模型，需要考虑日接触率 与日治愈率 的关系、患病者比例的初值 的影响，总人数N没有影响
日接触率 与日治愈率 关系的影响
直观地考虑，如果每天治愈的人数高于感染的人数，则疫情逐渐好转，否则疫情逐渐严重。因此日接触率 λ 与日治愈率 μ 的关系非常关键，这就是传染期接触数 σ=λ/μ 的意义。
当 时，传染期接触数小于 1，日接触率小于日治愈率，患病率单调下降，最终清零，与患病率初值无关。
越小，疫情清零速度越快； 越接近于 1，疫情清零越慢，但最终仍将清零。
分析其实际意义，传染期接触数小于 1，表明在传染期内经过接触而使易感者变成患病者的数量，小于在传染期内治愈的患病者的数量，因此患病者数量、比例都会逐渐降低，所以最终可以清零，称为无病平衡点。
当 σ=1 时，不论患病率初值如何，患病率也是单调下降，最终趋近于 0。虽然在数学上患病率只能趋近于 0 而不等于 0，但考虑到总人数 N 是有限的，而患病者和易感者人数需要取整，因此 σ=1 时最终也会清零。
当 时，传染期接触数大于 1，日接触率大于日治愈率，患病率的升降有两种情况：
当患病率很低时，患病者人数少而易感者人数多，患病率上升；但随着患病率增大，患病者越来越多而易感者越来越少，患病率虽然仍然上升但上升速度趋缓，最终趋于定值。
当患病率很高时，患病者人数多而易感者人数少，患病率下降；但随着患病率减小，患病者越来越少而易感者越来越多，患病率虽然仍然下降但下降速度趋缓，最终也趋于相同的定值。
患病率最终都会收敛到稳态特征值 。当 即患病率初值大于稳态特征值时，疫情曲线单调上升收敛；当 即患病率初值小于稳态特征值时，疫情曲线单调下降收敛；当 时，患病率始终大于稳态特征值，疫情曲线为水平直线。
这表明，当 时疫情终将稳定但不会清零，而是长期保持一定的患病率，称为地方病平衡点。
当 时，不论患病率初值如何，患病率都单调下降并最终趋于 0。
传染期接触数与的关系
患病率的一阶导数 di/dt 的变化曲线，表明不论传染期接触数和初值如何，患病率的变化率都将收敛到 0，因此疫情终将稳定。当 σ<1 时， di/dt 始终是负值，单调上升趋近于 0； 当 σ>1 时， di/dt 始终是正值，先上升达到峰值后再逐渐减小趋近于 0。
本图为患病率 i(t) 与一阶导数 di/dt 在不同传染期接触数下的关系曲线（相空间图）。当 σ≤1 时，曲线收敛到原点 (0,0)，即存在无病平衡点； 当 σ>1 时，曲线收敛到 (1−1/σ,0)，即存在地方病平衡点。
SIS 模型结果讨论
SIS 模型表明：
- 若 ，则 ， 表明患病者始终存在，成为地方病。
- 若 ，则 ，表明患病者人数不断减少，最终可以清零。
- SIS 模型说明，对于传染病，需要对患病者进行隔离以减少有效接触，通过减少日接触率 来减小接触数 ，打破传播链，最终控制疫情
需要指出的是，本文讨论的 SIS模型是把考察地区视为一个疫情均匀分布的整体进行研究。实际上，在考察区域的疫情分布必然是不均衡的，可能在局部区域发生疫情爆发导致该区域患病人数激增，是否会影响 SIS 模型的演化过程和稳定性呢？相关研究表明，扩散速度的不同可能导致种群空间分布的差异，在低风险区域将达到无病平衡点，在高风险区域仍将达到地方病平衡点。
SIR 模型
传染病的传播特性不可能通过真实的试验开展研究，因此需要针对不同的传染病传播方式和流行特点建立相应的数学模型，并对模型进行理论研究和数值模拟。通过研究发现传染病传播的特征阈值，就可以为预防和控制传染病提供数据支撑和防控策略。
1927年，W. Kermack 在论文 “Contributions to the mathcmatical theory of epidemics” 中研究了伦敦黑死病和孟买瘟疫的流行过程，创造性地提出了 SIR 模型。
SI 模型和 SIS 模型将人群分为感染者（S类）和患病者（I类）两类人群，但大多数传染病的患者在治愈后就有很强的免疫力，终身或在一段时期内不再会被感染而变成病人。这类人群称为病愈免疫的康复者（R 类）。康复者已经退出传染系统，对于致死性疾病的死亡者也可以用该类别描述其传播特性。
SIR 模型适用于具有易感者、患病者和康复者三类人群，可以治愈，且治愈后终身免疫不再复发的疾病，例如天花、肝炎、麻疹等免疫力很强的传染病。
SIR 模型假设：
- 考察地区的总人数 N 不变，即不考虑生死或迁移
- 人群分为易感者（S类）、患病者（I类）和康复者（R 类）三类
- 易感者（S类）与患病者（I类）有效接触即被感染，变为患病者（I类）；患病者（I类）可被治愈，治愈后变为康复者；康复者（R类）获得终身免疫不再易感；无潜伏期
- 将第 t 天时 S类、I 类、R 类人群的占比记为 ，数量为 ；初始日期 时， S类、I 类、R 类人群占比的初值为
- 日接触数，每个患病者每天有效接触的易感者的平均人数
- 日治愈率，每天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例，即平均治愈天数为 传染期接触数 ，即每个患病者在整个传染期内有效接触的易感者人数
SIR 模型的微分方程：
由
得：
SIR 模型不能求出解析解，只能通过数值计算方法求解。
常微分方程的导数定义（SIS模型）
常微分方程组的导数定义（SIR模型）
SI 模型、SIS 模型与SIR 模型的比较
参数和初值为：
曲线 i(t)-SI 是 SI 模型的结果，患病者比例急剧增长到 1.0，所有人都被传染而变成患病者
曲线 i(t)-SIS 是 SIS 模型的结果，患病者比例快速增长并收敛到某个常数，即稳态特征值，表明疫情稳定，并将长期保持一定的患病率，称为地方病平衡点。
曲线 i(t)-SIR、s(t)-SIR、r(t)-SIR 分别是 SIR 模型的易感者（S类）、患病者（I 类）、康复者（R 类）人群的占比。图中易感者比例 s(t) 单调递减并收敛到非零的稳态值 ，康复者比例 r(i) 单调递增并收敛到非零的稳态值 ，患病者比例 i(t) 先上升达到峰值，然后再逐渐减小趋近于 0 。
SIR 模型参数的影响
SIR 模型中有日接触率 λ 与日治愈率 μ 两个参数，还有 两个初始条件，共有 4 个可以调整的参数条件都会影响微分方程的解，也就是会影响患病者、易感者比例的时间变化曲线。其中的各种组合无穷无尽，如果没有恰当的研究方法、不能把握内在的规律，即使在几十、几百组参数条件下进行模拟，仍然只是盲人摸象、管中窥豹
初值条件的影响
下面考察初值条件 的影响。固定参数 不变，不同初值条件下 的变化曲线如下：
通过对于该参数条件下不同初值条件的单因素分析，可以看到患病者比例、易感者比例的初值条件对疫情发生、达峰、结束的时间早晚具有直接影响，但对疫情曲线的形态和特征影响不大。不同初值条件下的疫情曲线，几乎是沿着时间指标平移的。这说明如果不进行治疗防控等人为干预，疫情传播过程与初始患病率无关，该来的总会来。
图中患病率达到高峰后逐步降低，直至趋近于 0；易感率在疫情爆发后迅速下降，直至趋近于 0。但这一现象是基于具体的参数条件的观察，无法确定其是否普遍规律。
日接触率的影响
首先考察日接触率 λ 的影响。固定参数 不变， 时 的变化曲线如下图所示：
通过对于该条件下日接触率的单因素分析，可以看到随着日接触率的增大，患病率比例出现的峰值更早、更强，而易感者比例从几乎不变到迅速降低，但最终都趋于稳定。
对本图我们好像感觉到存在一些规律，但又似乎说不清，很难总结出来。即便总结出某些特征，也只能说是在该固定参数条件下的特征，不能说是 SIR 模型的共有特征。即便反复地改变固定参数的取值或日接触率的范围，情况也差不多。
日治愈率的影响
下面考察日治愈率的影响。固定参数不变， 时 的变化曲线如下图所示：
通过对于该条件下日治愈率的单因素分析，可以看到随着日治愈率 μ 的减小，患病率比例 i(t) 出现的峰值更强、也稍早，而易感者比例 s(t) 从几乎不变到迅速降低，但最终都趋于稳定。
对于本图的观察和分析情况与上图是差不多的，看起来内容更丰富，似乎也有规律可循，但很难说的清，只能做一些简单的描述。即便进行更多的模拟，情况也差不多。
这是因为，对于SIR 模型这类微分方程，对结果具有决定性影响的特征参数，往往不是模型中的某个参数，而是多个参数特定关系的组合，因此仅从单因素实验很难充分反映模型中的内在特征。
SIR 模型的相空间分析
SIR 模型的相轨迹方程
SIR 模型不能求出解析解，可以通过相空间方法来研究解的周期性、稳定性。
由于患病者比例和易感者比例都是时间的函数，因此当取任意值时都对应着平面上的一个点，当连续变化时对应着平面上的一条轨迹，称为相轨迹。通过相轨迹图可以分析微分方程的性质。
对于 SIR 模型，消去 dt 可以得到：
该微分方程的解为：
上图为例程的运行结果 ，是 SIR 模型的相轨迹图。
图中每一条 曲线，从直线 上的某一初值点出发，最终收敛于轴上的某一点，对应着某一个初值条件下的患病者与易感者比例随时间的变化关系。
利用相轨迹图可以分析和讨论 SIR 模型的性质：
- 任一条 曲线都收敛于 轴上的一点，即，表明不论初始条件如何，患病者终将清零
- 患病者比例在 时达到峰值。若易感者比例的初值，患病者比例先增长，在 时达到峰值 ，然后下降，终将清零；若易感者比例的初值，患病者比例单调递减，终将清零
- 易感者比例单调递减，易感者的最终比例是相轨迹与 轴在 内交点的横坐标。易感者最终比例虽然与初值有关，但集聚于靠近 i轴的区域，表明不论初始条件如何，大部分人都会感染疫情并康复
相轨迹图看上去比较怪，也不容易理解，是因为忽略时间轴而着重关注两个变量之间的关系，这种视角与我们日常观察问题和思考问题的习惯完全不同。也正是因为这个原因，相轨迹图能反映出时间变化曲线图中难以表达的一些重要特征。
例如，患病者比例在 s=1/σ 时达到峰值，即使把不同 σ 值下的患病者比例的时间变化曲线放在一张图中也无法观察到这一特征。进一步地，既然在 s=1/σ 时达到峰值，那么 与 1/σ 的关系自然就成为重要的分界线，并在图中可以观察到分界线两侧具有明显不同的特征。
有了对这些特征的认识和把握，才能选择不同的参数条件，在时间变化曲线图上进行比较系统的比较。要知道 SIR 模型中有 λ、μ 两个参数，还有 两个初始条件，共有 4 个可以设置的参数都会影响微分方程的解，也就是会影响患病者、易感者比例的时间变化曲线。其中的各种组合无穷无尽，如果没有恰当的研究方法、不能把握内在的规律，即使在几十、几百组参数条件下进行模拟，仍然只是盲人摸象、管中窥豹。
SIR 模型讨论
简单总结一下 SIR 模型的特点：
- SIR 模型是一个单向模型，易感者（S）不断转变为患病者（I），患病者（I）不断转变为康复者（R），因此易感者比例 单调递减，康复者比例 单调递增。
- 若 ，患病者比例 i(t) 先增长，当 时达到峰值，然后下降，最终为 0；若 ，患病者比例 单调递减，最终为 0
- 不论初始条件如何，患病者数量最终都会清零
- 是传染病蔓延的阈值，满足 才会发生传染病蔓延。因此，为了控制传染病的蔓延：
一方面要提高阈值 ，这可以通过提高卫生水平来降低日接触率、提高医疗水平来提高日治愈率
另一方面要降低，这可以通过预防接种达到群体免疫来实现
SEIR 模型
SEIR 模型的提出
建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，要根据传染病的发病机理和传播规律， 结合疫情数据进行拟合分析，可以认识传染病的发展趋势，预测疫情持续时间和规模，分析和模拟各种防控措施对疫情发展的影响程度， 为传染病防控工作提供决策指导，具有重要的理论意义和现实意义。
SI 模型是最简单的传染病传播模型，把人群分为易感者（S 类）和患病者（I 类）两类，通过 SI 模型可以预测传染病高潮的到来；提高卫生水平、强化防控手段，降低病人的日接触率，可以推迟传染病高潮的到来。在 SI 模型基础上发展的 SIS 模型考虑患病者可以治愈而变成易感者，SIS 模型表面传染期接触数 σ 是传染病传播和防控的关键指标，决定了疫情终将清零或演变为地方病长期存在。在 SI 模型基础上考虑病愈免疫的康复者（R 类）就得到 SIR 模型，通过 SIR 模型也揭示传染期接触数 σ 是传染病传播的阈值，满足 才会发生传染病蔓延，由此可以分析各种防控措施，如：提高卫生水平来降低日接触率λ、提高医疗水平来提高日治愈率 μ，通过预防接种达到群体免疫来降低 等。
传染病大多具有潜伏期（incubation period），也叫隐蔽期，是指从被病原体侵入肌体到最早临床症状出现的一段时间。在潜伏期的后期一般具有传染性。不同的传染病的潜伏期长短不同，从短至数小时到长达数年，但同一种传染病有固定的（平均）潜伏期。例如，流感的潜伏期为 1～3天，冠状病毒感染的潜伏期为4~7天，新型冠状病毒肺炎传染病（COVID-19）的潜伏期为1-14天（* 来自：新型冠状病毒肺炎诊疗方案试行第八版，潜伏时间 1～14天，多为3～7天，在潜伏期具有传染性），肺结核的潜伏期从数周到数十年。
SEIR 模型考虑存在易感者（Susceptible）、暴露者（Exposed）、患病者（Infectious）和康复者（Recovered）四类人群，适用于具有潜伏期、治愈后获得终身免疫的传染病。易感者（S 类）被感染后成为潜伏者（E类），随后发病成为患病者（I 类），治愈后成为康复者（R类）。这种情况更为复杂，也更为接近实际情况。
SEIR 模型的仓室结构示意图如下：
SEIR 模型假设
- 考察地区的总人数 N 不变，即不考虑生死或迁移；
- 人群分为易感者（S 类）、暴露者（E 类）、患病者（I 类）和康复者（R 类）四类；
- 易感者（S 类）与患病者（I 类）有效接触即变为暴露者（E 类），暴露者（E 类）经过平均潜伏期后成为患病者（I 类）；患病者（I 类）可被治愈，治愈后变为康复者（R 类）；康复者（R类）获得终身免疫不再易感；
- 将第天时S 类、E 类、I 类、R 类人群的占比记为，数量分别为 ；初始日期时，各类人群占比的初值为 ；
- 日接触数 ，每个患病者每天有效接触的易感者的平均人数；
- 日发病率 ，每天发病成为患病者的暴露者占暴露者总数的比例；
- 日治愈率 ，每天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例，即平均治愈天数为 ；
- 传染期接触数 ，即每个患病者在整个传染期内有效接触的易感者人数。
SEIR 模型的微分方程
由
得：
SEIR 模型不能求出解析解，可以通过数值计算方法求解
例程的参数和初值为：，上图为运行结果。
曲线 i(t)-SI 是 SI 模型的结果，患病者比例急剧增长到 1.0，所有人都被传染而变成患病者。
曲线 i(t)-SIS 是 SIS 模型的结果，患病者比例快速增长并收敛到某个常数，即稳态特征值 ，表明疫情稳定，并将长期保持一定的患病率，称为地方病平衡点。
曲线 i(t)-SIR 是 SIR 模型的结果，患病者比例 i(t) 先上升达到峰值，然后再逐渐减小趋近于常数。
曲线 s(t)-SEIR、e(t)-SEIR、i(t)-SEIR、r(t)-SEIR 分别表示 SEIR模型中易感者（S类）、潜伏者（E类）、患病者（I类）和康复者（R 类）人群的占比。
图中易感者比例 s(t) 单调递减并收敛到接近于 0 的稳定值。潜伏者比例 e(t) 曲线存在波峰，先逐渐上升而达到峰值，然后再逐渐减小，最终趋于 0。患病者比例 i(t) 曲线与潜伏者比例曲线类似，上升达到峰值后逐渐减小，最终趋于 0；但患病者比例曲线发展、达峰的时间比潜伏者曲线要晚一些，峰值强度也较低。康复者比例 r(i) 单调递增并收敛到非零的稳态值。以上分析只是对本图进行的讨论，并非普遍结论，取决于具体参数条件。
比较相同参数条件下 SIR 和 SEIR 模型的结果，SIR 模型中患病者比例 i(t) 的波形起点、峰值和终点到来的时间都显著早于 SEIR 模型，峰值强度也高于 SEIR 模型。这表明具有潜伏期的传染病，疫情发生和峰值的到来要晚于没有潜伏期的传染病，而且持续时间更长。
SEIR 模型参数的影响
SEIR 模型中有日接触率 、日发病率 和日治愈率 三个参数，还有 等初始条件，我们先用单因素分析的方法来观察参数条件对于疫情传播的影响。
初值条件的影响
SEIR 模型中有 等 3个初始条件，组合众多无法穷尽。考虑实际情况中，疫情初始阶段尚无康复者，而潜伏者比例往往高于确诊的发病者，我们假定 ，考察不同 时的疫情传播情况。
通过对于该参数下不同的患病者、潜伏者比例初值条件的模拟，可以看到患病者、潜伏者比例的初值条件对疫情发生、达峰、结束的时间早晚具有直接影响，但对疫情曲线的形态和特征影响不大。不同初值条件下的疫情曲线，几乎是沿着时间指标平移的。
这说明如果不进行治疗防控等人为干预，疫情传播过程与初始患病者、潜伏者比例关系并不大，该来的总会来。
图中患病率达到高峰后逐步降低，直至趋近于 0；易感率在疫情爆发后迅速下降，直至趋近于 0。但这一现象是基于具体的参数条件的观察，仅由该图并不能确定其是否普遍规律。
日接触率的影响
保持参数 不变， 时 的变化曲线如下图所示。
通过对于该条件下日接触率的单因素分析，可以看到随着日接触率 λ 的增大，患病率比例 i(t) 出现的峰值更早、更强，而易感者比例 逐渐降低，但最终都趋于稳定。
日发病率的影响
下面考察日发病率 δ 的影响。保持参数 不变， 时的变化曲线如下图所示。
通过对于该条件下日接触率的单因素分析，可以看到随着日接触率 λ 的增大，患病率比例出现的峰值更早、更强，而易感者比例逐渐降低，但最终都趋于稳定。
日治愈率的影响
下面考察日治愈率 μ 的影响。保持参数 不变， 时 的变化曲线如下图所示。
通过对该条件下日治愈率的单因素分析，可以看到在日治愈率 时，患病者比例始终非常低并趋于 0，易感者比例几乎不变，表明疫情不会传播，这是因为患病者治愈的速度快于易感者被感染的速度。
在日治愈率 时，患病者比例也始终非常低（接近 0），易感者比例缓慢降低并趋于稳定值，表明疫情的传播十分缓慢微弱，这是因为患病者治愈的速度较快，在易感者比例逐渐降低到某一水平后治愈人数与感染人数将达到平衡。
在日治愈率较低时 （ ），患病者比例曲线存在波峰，然后再逐渐减小，最终趋于 0。随着日治愈率 μ 的减小，患病率比例 i(t) 曲线的峰值更强、也稍早。易感者比例 s(t) 随着患病者比例上升而迅速降低，最终趋于某个稳定值，也达到治愈与感染的平衡。
通过对不同参数的单因素实验和结果分析，可以发现虽然各个模型参数和初始条件都会影响疫情曲线，但日治愈率 与日接触率的关系更为重要。进一步的分析和模拟可以发现，传染期接触数 是传染病蔓延的阈值，满足 才会发生传染病蔓延。
这说明具有决定性影响的特征参数，往往不是模型中的某个参数，而是多个参数特定关系的组合，仅从单因素实验很难充分反映模型中的内在特征。
SEIR 模型的相空间分析
SEIR 模型的相轨迹分析
上图为例程 4.2 的运行结果，是 SEIR 模型的相轨迹图。
图中每一条 e-s 曲线，从直线 i(t)+s(t)=1 上的某一初值点出发，最终收敛于 s轴上的某一点，对应着某一个初值条件下的患病者与易感者比例随时间的变化关系。
SEIR 模型的相轨迹图比较复杂，难以在本文展开进行讨论。但是，相轨迹图中的虚线还是反映出了时间变化曲线图中难以表达的一些重要特征，以此为线索可以进行更深入的研究。
SEIR 模型结果讨论
简单总结一下 SEIR 模型的特点：
- SEIR 模型是一个单向模型，易感者（S）不断转变为潜伏者（E），潜伏者（E）发病后成为患病者（I），患病者（I）不断转变为康复者（R），因此易感者比例 s(t) 单调递减，康复者比例 r(i) 单调递增。
- SEIR 模型假设潜伏期无传染性，因此潜伏期延迟了传染期的开始，疫情发生和峰值的到来要晚于没有潜伏期的 SIR 模型。但潜伏期不会改变感染人群的累计数量，而且持续时间更长。
- 1/σ 是传染病蔓延的阈值，满足 才会发生传染病蔓延。因此，为了控制传染病的蔓延：一方面要提高阈值 1/σ，这可以通过提高卫生水平来降低日接触率λ、提高医疗水平来提高日治愈率 μ；另一方面要降低 ，这可以通过预防接种达到群体免疫来实现。
- 在 SEIR 模型的基础上，可以根据不同传染病病理特征及疫情传播特点，对模型进行进一步的改进，使模型与实际情况更加吻合，以便更准确地预测疫情发展趋势。
- 在 SEIR 模型的基础上，可以结合实际的疫情数据来拟合和估计模型参数，进而用来模拟和分析不同治疗方案和防控措施对疫情发展的影响，为新冠疫情的防控工作提供决策指导。
新冠疫情的SEIR模型改进
SEIR 模型考虑存在易感者（Susceptible）、暴露者（Exposed）、患病者（Infectious）和康复者（Recovered）四类人群，适用于具有潜伏期、治愈后获得终身免疫的传染病。易感者（S 类）被感染后成为潜伏者（E类），随后发病成为患病者（I 类），治愈后成为康复者（R类）。这种情况更为复杂，也更为接近实际情况。
SEIR 模型的仓室结构示意图如下：
SEIR 模型假设
- 考察地区的总人数 N 不变，即不考虑生死或迁移；
- 人群分为易感者（S 类）、暴露者（E 类）、患病者（I 类）和康复者（R 类）四类；
- 易感者（S 类）与患病者（I 类）有效接触即变为暴露者（E 类），暴露者（E 类）经过平均潜伏期后成为患病者（I 类）；患病者（I 类）可被治愈，治愈后变为康复者（R 类）；康复者（R类）获得终身免疫不再易感；
- 将第天时S 类、E 类、I 类、R 类人群的占比记为，数量分别为 ；初始日期时，各类人群占比的初值为 ；
- 日接触数 ，每个患病者每天有效接触的易感者的平均人数；
- 日发病率 ，每天发病成为患病者的暴露者占暴露者总数的比例；
- 日治愈率 ，每天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例，即平均治愈天数为 ；
- 传染期接触数 ，即每个患病者在整个传染期内有效接触的易感者人数。
SEIR 模型的微分方程
由
得：
基于 SEIR 模型研究新冠疫情
基于 SEIR 模型的新冠疫情研究论文
2019年12月，武汉市出现新冠疫情（COVID-19）病例；2020年初，新冠疫情（COVID-19）在中国迅速蔓延。随着严格的防疫措施，新冠疫情在中国总体被基本抑制；之后虽然在国内部分地区有零星散发，但均较快得到控制，这都得益于疫情早期的防控。
因此，在疫情暴发早期迅速采取有效的防控措施，对于新冠疫情的防控具有重要作用。对疫情暴发与衰退进行精准预测，对防控措施的效果进行定量分析，为研判疫情传播发展态势、科学实施疫情防控，积极稳妥恢复日常工作和生活，具有重要的理论意义和现实意义 。
国内外学者开展了大量的疫情传播和疫情防控的研究，这些研究主要是基于 SEIR 模型，并根据新冠疫情的病理特征及传播特点，对模型进行各种改进，使模型与实际情况更加吻合，以便更准确地预测疫情发展趋势 。
2020年1月，英国 Jonathan 等估计武汉市 2月4日感染病例将达到 19万例，高估了疫情发展态势。2020年1月，西安交通大学 Shen 等估计新冠疫情的基本再生数，预测最终感染人数在 2万人以内，明显低于公布的疫情数据。2020年1月31日，香港学者 Wu 等推测 1月25日感染人数超过6000，高于25日公布的确诊人数 1985例。
2020年 3月，钟南山院士团队在《Journal of thoracic disease》发表论文 “Modified SEIR and AI prediction of the epidemics trend of COVID-19 in China under public health interventions（ 基于改进 SEIR 和 AI 模型对公共卫生干预下的 COVID-19 暴发趋势预测）“，采用改进的 SEIR 模型来预测新冠疫情的发展。
该文结合 2020年 1月23日前后的人口迁移数据及最新的 COVID-19 流行病学数据，对 SEIR 模型参数进行估计和校正，由此预测疫情发展的走势，与实际报告数据的吻合度较高。
基于该模型的研究认为，按照目前的干预措施疫情将在 2月28日达到峰值，4月底逐渐平缓，最终感染人数将达到 122,122 （89741～156794）人；如果干预措施能提早 5天，感染人数将减少 2/3 ，估计仅 40,991人；但如果干预措施推迟 5天，预计疫情规模将增加 3倍，感染人数会达到 351,874人。
该文指出，如果继续严格的管控政策，提高诊断水平，推出使用药物，疫情规模将得到极大控制；如果立即在湖北省解除隔离，将在 3月中旬出现第二次疫情高峰，并使疫情延至 4月底，因此建议继续采取有力措施进行防控。
该文是 2月27日投稿，文中数据基于2月9日（当时国内确诊35,982例）。4月30日国内公布累计确诊 84,385例，疫情得到有效控制，都在本文的预测范围之内。
2020年 2月，中山大学胡延庆团队在《科学通报》发表论文 “新型冠状病毒传播的数学模型与预测”，采用分阶段滚动 SEIR 模型对防控措施的效果进行分析，通过新冠疫情数据估算自然基本再生数为 2.57，对疫情发展趋势进行了预测，预计最终全国除湖北省以外的累计感染人数近 14000（到2020年底实际为 18922），除武汉市以外的累计感染人数近 32000（到2020年底实际为 36717）。
2020年 2月，西安交通大学吕军团队论文 “基于 SEIR模型分析相关干预措施在新型冠状病毒肺炎疫情中的作用”，对 SEIR模型加入潜伏期传染率、感染人群变化率等参数，通过新冠疫情数据估算基本再生数为 2.4～2.7。基于模型分析防控手段的有效性，模型显示基于严格限制出行的隔离措施能够减缓疫情发展的趋势，使潜伏和感染人群的峰值分别降低 45. 7%、29. 9%。因此，疫情一旦暴发应及时采取相应等级的应急响应措施，及时出台强力的管控举措，及早限制出行、居家隔离、提示及强制出行戴口罩等防护措施切断病毒传染途径，大幅度减少潜伏和感染人群与易感人群的接触人数，以减缓疫情发展及减少疫情峰值发病人数。
此外，深圳大学林俊锋的论文 “基于引入隐形传播者的 SEIR 模型的 COVID-19 疫情分析和预测”，考虑未监测、未隔离的病毒携带者，在 SEIR 模型中引入隐形传播者（Undiscovered），提高了 SEIR 模型的精度。
中南大学李东杰团队的论文“基于改进传染病动力学易感-暴露-感染-恢复模型 (SEIR) 预测新型冠状病毒肺炎疫情”，基于 SEIR 模型并通过易感人群减少率来反映政府管控措施的效果。
长安大学董是等的论文“基于系统动力学模型的 2019冠状病毒病早期防控机制研究”，以广义 SEIR 模型为基础，引入易感人群、不易感人群、暴露人群（已感染但尚不具有传染性，处于潜伏状态）、感染人群（具有传染性，尚未隔离）、隔离人群（已感染和确诊）、恢复人群和死亡人群 7个不同状态，以中国、美国、英国、澳大利亚、塞尔维亚和意大利的疫情暴发早期数据对模型参数进行拟合。在此基础上对严格集中管控模式和有限防控模式进行对比分析，认为在疫情暴发的早期，提高保护率、降低感染率，缩短检疫时间，采取严格的隔离政策可以有效抑制疫情的传播与扩散。
本文附录参考文献中给出了一些使用 SEIR 及其改进模型进行新冠疫情研究的论文。
针对新冠疫情的 SEIR 模型改进
分析和总结这些基于 SEIR 模型研究新冠疫情的论文，主要有三个方面的内容：一是对 SEIR 模型的改进，二是对模型参数的估计，三是对疫情传播和防控措施的预测。这也是传染病动力学模型进行疫情传播研究的基本路径。本节主要讨论 SEIR 模型d 改进。
SEIR 模型的假设比 SI、SIS、SIR 模型更加复杂，也更符合实际情况，因而模型结果往往也与实际数据更为接近。但即便如此，相对于特定传染病、实际疫情的具体情况，SEIR 模型的基本假设仍然存在问题与不足。
发现特定传染病和实际疫情的具体情况，在 SEIR 模型的基础上，考虑新的因素，就可以对 SEIR 模型进行改进。大体来说，对于 SEIR 模型的改进主要有以下几个方面：
一是对于模型结构的改进，主要是对人群类型的细分。
SIR 模型较 SI 模型增加了康复者（R类），SEIR 模型较 SIR模型增加了潜伏者（E类）。类似地，结合新冠疫情传播和防控的特征，可以而且需要对人群进行进一步的细分。
“早发现、早诊断、早隔离、早治疗”是新冠疫情防控的关键措施。尽早发现患病者和尚未发病的潜伏者，对其进行隔离，可以大幅降低日接触数、传染期接触数。因此，潜伏者处于检出后的隔离状态还是未检出的正常活动状态，对于疫情传播的影响是具有本质差异的，由此可以在 SEIR模型中引入“隐形传播者（Undiscovered）”。
进一步地，可以考虑增加隔离易感者、隔离接触者、住院患者，并考察不同人群之间的动力学关系。
新冠疫情患病者有一定的病死率，可以考虑增加病死者人群（Death），根据病死率数据建立患病者与病死者的动力学关系。
又如，考虑不同人群对病毒的抵抗力不同，因而被感染的概率不同，可以细分婴儿、老人人群，对其设定较高的接触感染率；考虑不同人群病死率的不同，可以对具有基础病的患者设置较高的病死率。
由此可见，只要认真分析新冠疫情发病机制的特征，分析所考察区域和阶段的特点，就可以发现区别于 SEIR 的特征人群，进而提出新的细分人群，从而对 SEIR 模型进行改进。当然，有些细分人群对于结果影响并不大，或者很难找到该细分人群与其它人群的动力学关系，所以并不是说人群分的越多越好。
二是对疫情传播特征的改进，就是给微分方程表达式增加修正项。
SEIR 模型是单向模型，是对实际问题的简化，便于分析和求解。考虑新冠疫情发病机制和传播特点，可以对各类人群之间的传播特性进行更科学、更细致的研究。
例如，新冠疫情的重要病理特征是在潜伏期具有传染性，发病后 5天内传染性较强。实际上，随着疫情发展，患病者基本被收治隔离，日接触数极低，这时疫情主要是通过潜伏者与易感者的接触传播的。针对这一特征，SEIR 模型中仅考虑易感者与患病者接触后感染显然是重大的缺陷，需要考虑易感者与潜伏者接触后感染的影响。
又如，新冠疫情中发现患病治愈者具有免疫期，不是终身免疫，因此可以增加康复者向易感者转变的连接路径；疫情中发现一些潜伏者（暴露者）不一定都转变为患病者，而是也可能回到易感者，因此可以增加潜伏者人群返回易感者人群的连接路径。钟南山团队论文，就是在 SEIR 模型基础上，基于进行隔离与解除隔离的数据而增加了易感者与潜伏者的双向转换路径。
微分方程的表达式是各类人群之间动力学关系的反映，是对仓室模型中各类人群相互联系和转换特征的数学描述。基于改进模型提出各类人群之间新的转换关系，就是在微分方程表达式中增加一个修正项，来描述两个仓室之间的动力学关系。后文将对此案例进行具体分析。
三是对基本假设的完善，就是补充或修正原有的假设。
模型的基本假设都是对实际问题的抽象和简化。至于简化是否合理，就是仁者见仁智者见智的事情了。一般来说，经典模型、基本模型都是对普遍问题的抽象，结合具体实际问题的特点来考虑就显得不尽合理、完善，因此可以进行补充或修正。
例如，基本假设考察地区的总人数 N 不变，即不考虑生死或人口流动 。对于严重的、长期的疫情，也可以生死的影响。而疫情发生后人口流动几乎是必然的，也是疫情传播的主要途径，疫情防控的主要措施。因此，结合交通流大数据，考虑人流迁移的影响，是研究疫情传播重要内容。
又如，SEIR 模型中对日接触数、日发病率、日治愈率设定为常数，考虑新冠疫情的具体情况，这些参数可以是分段的（不同人群、不同阶段），可以是时变的，也可以是某种函数。
最后，需要指出的是，针对新冠疫情而对 SEIR 模型的改进，有的是非常重要并对结果产生重大影响的，例如潜伏期的传染性、对密切接触者的隔离、人员流动的影响；有的则不会有多大影响，反而使模型更为复杂，只能说也是一种探索和尝试吧。
考虑潜伏期传染性的 SEIR 改进模型
改进模型的假设和微分方程
考虑新冠疫情在潜伏期具有传染性，易感者（S 类）除了与患病者（I 类）有效接触而被感染，与潜伏者（E类）有效接触也有可能被感染而转变为潜伏者（E类）。
对 SEIR 模型增加假设：
9.潜伏者日接触数 ，每个潜伏者每天有效接触的易感者的平均人数
可以建立如下微分方程：
得：
SEIR 模型的微分方程导数函数
SEIR 改进模型的微分方程导数函数
定义导数函数 。改进模型只是在 SEIR 模型微分方程中增加了一个修正项，具体编程并没有很大区别
上图是对 SEIR 改进模型与 SEIR模型结果的比较，图中实线为 SEIR 改进模型、虚线为 SEIR 模型，不同颜色分别表示易感者比例、潜伏者比例和患病者比例。
图中，SEIR 改进模型潜伏者比例、患病者比例出现的峰值比 SEIR 模型更早、更强，易感者比例 降低的更快，但最终也都趋于稳定。这是由于 SEIR 改进模型假设潜伏者在潜伏期的日接触数 ，相当于在总体上增大了日接触数。因此SEIR 改进模型的结果，与在 SEIR 模型中增大日接触率 λ 的情况是类似的，可以参见《B5-SEIR疫情模型》中的图3.2。
基于 SEIR 改进模型的防控措施分析
对患病者实施隔离措施的影响
上图中 SEIR 改进模型与 SEIR 模型的结果虽然有差别，但差别并不大。如果增大 SEIR 模型中的日接触率 λ ，也能得到类似的结果。换个角度看，如果用实际疫情数据来拟合模型参数，SEIR 模型也能达到很好地拟合，只是在估计的日接触率参数中反映了潜伏者的日接触数的影响。
但如果考虑对患病者进行隔离的防控措施，则情况将会出现很大变化。假设对患病者进行有效隔离——这是最基本、最普遍的传染病防控措施，使患病者的日接触率降低到未隔离时的20%，而潜伏者在潜伏期的日接触 不变。
上图是对 SEIR 改进模型与 SEIR模型结果的比较，所用的模型和程序与上图相同，只是考虑对患病者进行有效隔离而将患病者的日接触率 从 1.0 降低为 0.2。
此时，改进 SEIR 模型与 SEIR 模型的差异较上图显著增大。因为患病者的有效传染数由于隔离而大幅降低，SEIR模型中的疫情大为缓解。如果考虑实际上患病者隔离前后的日接触率的差异更大，采用更小的日接触率，则疫情很容易受到控制。
但是，在 SEIR 改进模型中，虽然患病者的有效传染数也由于隔离而降低，但潜伏者的有效传染数未受控制而不变，因此疫情较上图（患病者未隔离）虽有推迟和减轻，但仍然非常严重。
以上的分析说明：一方面，对于潜伏期具有传染性的传染病，必须使用 SEIR改进模型，考虑潜伏者的日接触数，才能更真实地反映疫情传播特点；另一方面，在疫情防控中，不仅要及时对患病者采取隔离措施，也要对潜伏者采取隔离措施，才能控制疫情，这就要求对潜伏者"早发现、早诊断、早隔离"。
对潜伏者实施隔离措施的影响
对潜伏者采取隔离措施，就要求对潜伏者"早发现、早诊断、早隔离"。用考虑潜伏期传染性的 SEIR 改进模型对发现和隔离潜伏者的防控措施的效果进行模拟研究。
比较以下三种情况：（1）未采取防控措施，λ=1.0，λ2=0.25；（2）对患病者采取隔离措施，但未对潜伏者采取隔离措施，λ=0.2，λ2=0.25；（3）对患病者、潜伏者都采取隔离措施， λ=0.2，λ2=0.1。
上图是采用考虑潜伏期传染性的 SEIR 改进模型对 3 种情况下疫情传播的模拟结果，图中实线、虚线和点划线分别表示第 1、2、3 种情况，不同颜色不同颜色分别表示易感者、潜伏者和患病者的比例。
如 4.1 中的分析，对患病者采取隔离措施使患病者日接触数减小（虚线），疫情较未隔离患病者（实线）时有所减轻，潜伏者、患病者比例的波峰的开始时间、峰值时间推后，峰值高度降低，但疫情仍然很严重。
进一步对潜伏者也采取隔离措施使潜伏者日接触数减小（点划线），疫情较未隔离潜伏者时显著减弱，潜伏者、患病者比例的波峰的开始时间、峰值时间显著推迟，峰值高度降低，说明发现和隔离潜伏者的措施对疫情控制是有效和必要的。
总结
- 改进模型通常是针对特定传染病和实际疫情的具体情况，在基本模型的基础上考虑新的因素，使模型的假设更符合实际情况，模型的结果能接近实际数据，才能更准确地预测疫情发展趋势、分析防控措施的影响。
- 结合新冠疫情对 SEIR 模型改进的主要方向是：对人群类型的细分；对疫情传播特征的修正；对模型基本假设的完善。
- 以考虑潜伏期传染性的 SEIR 改进模型为例，给出了具体的数学模型、编程实现、结果讨论。
- 从新冠疫情建模的角度分析看，需要考虑潜伏期传染性对疫情传播的影响；从新冠疫情防控的角度看，对潜伏者早发现、早诊断、早隔离，对于疫情防控是有效和必要的。
参考文献：
- 钟南山 等，Modified SEIR and AI prediction of the epidemics trend of COVID-19 in China under public health interventions（ 基于改进 SEIR 和 AI 模型对公共卫生干预下的 COVID-19 暴发趋势预测），Journal of the thoracic disease，2020.3
- 谢家荣 等，新型冠状病毒传播的数学模型与预测，科学通报，2020，65(22)
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- 曹盛力 等，修正 SEIR 传染病动力学模型应用于湖北省2019冠状病毒病（COVID-19）疫情预测和评估，浙江大学学报（医学版），2020.4
- 耿辉 等，基于 SEIR模型分析相关干预措施在新型冠状病毒肺炎疫情中的作用，暨南大学学报，2020,41(2)
- 王思远 等，基于改进传染病动力学易感-暴露-感染-恢复模型 (SEIR) 预测新型冠状病毒肺炎疫情，第二军医大学学报，2020，41(6)
- 王晨曦 等，传染病动力学模型研究综述，中国计算机用户协会网络应用分会2020年第二十四届网络新技术与应用年会论文集，2020.12
- 董是 等，基于系统动力学模型的 2019冠状病毒病早期防控机制研究，浙江大学学报（医学版），2021.2