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偏微分方程基本知识
微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式，偏微分方程是包含未知函数的偏导数（偏微分）的微分方程。
偏微分方程可以描述各种自然和工程现象， 是构建科学、工程学和其他领域的数学模型主要手段。 科学和工程中的大多数实际问题都归结为偏微分方程的定解问题，如：波传播，流动和扩散，振动，固体力学，电磁学和量子力学，等等。
偏微分方程主要有三类：椭圆方程，抛物方程和双曲方程。
- 双曲方程描述变量以一定速度沿某个方向传播，常用于描述振动与波动问题。
- 椭圆方程描述变量以一定深度沿所有方向传播，常用于描述静电场、引力场等稳态问题。
- 抛物方程描述变量沿下游传播，常用于描述热传导和扩散等瞬态问题。
偏微分方程的定解问题通常很难求出解析解，只能通过数值计算方法对偏微分方程的近似求解。常用偏微分方程数值解法有：有限差分方法、有限元方法、有限体方法、共轭梯度法，等等。通常先对问题的求解区域进行网格剖分，然后将定解问题离散为代数方程组，求出在离散网格点上的近似值。
Python 求解偏微分方程的功能是比较弱的，主要有 Fipy, FEniCS 等有限元方法的工具包，另外还有机器学习工具如 Tensorflow 也可以进行偏微分方程的仿真模拟。本篇采用比较简单的有限差分法对 5种典型的偏微分方程进行编程。
一维线性平流方程
平流过程是大气运动中重要的过程。平流方程（Advection equation）描述某一物理量的平流作用而引起局地变化的物理过程，最简单的形式是一维平流方程。
式中 u 为某物理量，v 为系统速度，x 为水平方向分量，t 为时间。
虽然该方程可以求得解析解：
考虑一维线性平流偏微分方程的数值解法，采用有限差分法求解。简单地， 采用一阶迎风格式的差分方法（First-order Upwind)，一阶导数的差分表达式为：
于是得到差分方程：
即可递推求得该平流方程的数值解
编程步骤
以该题为例一类有限差分法求解一维平流问题偏微分方程的步骤：
- 定义初始条件函数 U(x,0)；
- 输入模型参数 v, p，定义求解的时间域 (tStart, tEnd) 和空间域 (xMin, xMax)，设置差分步长 dt, nNodes；
- 初始化；
- 递推求解差分方程在区间 [xa,xb] 的数值解，获得网格节点的处的 u(t) 值。
在例程中，设初值条件为 ，取 ，空间域
一维热传导方程
一维热传导方程的数学模型
热传导方程描述一个区域内的温度随时间的变化，是典型的抛物型偏微分方程，也称为扩散方程。
一维热传导方程考虑各向同性的均匀细杆，在垂直于 x 轴的截面上的温度相同，细杆的圆周与周围环境无热交换，杆内无热源，则温度 是时间变量 和水平方向空间变量 的函数
考虑一维热传导偏微分方程的数值解法，采用有限差分法求解。简单地， 采用迎风法的三点差分格式，二阶导数的差分表达式为：
于是得到差分方程：
即可递推求得一维热传导方程的数值解
编程步骤
- 输入模型参数 L, lam，定义求解的时间域 (0, te) 和空间域 (0, L)，设置差分步长 dt, dx；
- 初始化；
- 计算每一时点的边界条件 U[0,j]，U[L,j]、每一位置的初始条件U[i,0]；
- 递推求解差分方程在空间域 [0, L] 的数值解，获得网格节点的处的 U(x,t) 。
在例程中，设初值条件为 ，边界条件为 ，在时间域 、空间域 求数值解即温度分布。
（1）例程中的初始条件 为常数，如果初始条件是 x 的函数 ，将该函数在初始条件语句赋值即可（参加例程中注释的语句）。
（2）例程中的边界条件，一端是 t 的函数 ，另一端是常数 ，这些条件也可以根据具体问题设置为相应的常数或函数。
二维双曲型方程
数学模型
波动方程（wave equation）是典型的双曲形偏微分方程，广泛应用于声学，电磁学，和流体力学等领域，描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。
考虑如下二维波动方程的初边值问题：
式中：u 是振幅；c 为波的传播速率，c 可以是固定常数，或位置的函数 c(x,y)，也可以是振幅的函数 c(u)。
考虑二维波动偏微分方程的数值解法，采用有限差分法求解。简单地， 采用迎风法的三点差分格式， 将上述的偏微分方程离散为差分方程 ：
化简后得到：
即可递推求得二维波动方程的数值解。
为了保证算法的收敛性，迎风法的三点差分格式要求步长比小于 1：
编程步骤
- 输入模型参数 c，定义求解的时间域 (0, te) 和空间域 (0,1)；
- 初始化，设置差分步长 dt, dx, dy，检验步长比以保证算法的稳定性；
- 计算初值条件U[0]、U[1]；
- 递推求解差分方程在空间域 [0, 1]*[0, 1] 的数值解，获得网格节点的处的 U(t,x,y) 。
在例程中，取初始条件为 ，边界条件为 ，在时间域 、空间域 求数值解即振动状态。
二维抛物型方程
数学模型
热传导方程（heat equation）是典型的抛物形偏微分方程，也成为扩散方程。广泛应用于声学，电磁学，和流体力学等领域，描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。
考虑如下二维热传导方程的初边值问题：
考虑二维抛物型偏微分方程的数值解法，采用有限差分法求解。将上述的偏微分方程离散为差分方程 ：
化简后得到：
即可递推求得二维波动方程的数值解：
编程步骤
- 输入热传导参数、热源参数等模型参数，定义求解的时间域 (0, te) 和空间域；
- 初始化，设置差分步长 dt, dx, dy，计算三对角系数矩阵 A、B，差分系数 rx, ry, ft；
- 绘制等温云图。
例程求解一个薄板受热的温度分布问题，其初始条件为 tIni=25，边界条件为 tBound=25，热源为 Qv，在空间域 x∈(0,16), y∈(0,12) ，时间域 t∈(0,5) 求数值解即温度分布。
对于外加热源，例程中给出了三种情况：（1）恒定热源，（2）热源功率（或开关）随时间变化，（3）热源位置随时间变化（从 (x0,y0) 以速度 (xv,yv) 移动，以模拟焊接加热的情况）。
二维椭圆型方程
数学模型
椭圆型偏微分方程是一类重要的偏微分方程，主要用来描述物理的平衡稳定状态，如定常状态下的电磁场、引力场和反应扩散现象等，广泛应用于流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分法中。
考虑如下二维泊松方程：
上式在 时就是拉普拉斯方程（Laplace equation）
考虑二维椭圆型偏微分方程的数值解法，采用有限差分法求解。简单地， 采用五点差分格式表示二阶导数的差分表达式，将上述的偏微分方程离散为差分方程 ：
椭圆型偏微分描述不随时间变化的均衡状态，没有初始条件，因此不能沿时间步长递推求解。对上式的差分方程，可以通过矩阵求逆方法求解，但当 h 较小时网格很多，矩阵求逆的内存占用和计算量极大。于是，可以使用迭代松弛法递推求得二维椭圆方程的数值解：
编程步骤
- 输入模型参数，定义空间域 (0,1)；
- 初始化，设置差分步长 h、松弛因子 w；
- 计算边值条件 u[0,:], u[1,:], u[:,0], u[:,1]；
- 迭代松弛法递推求解差分方程在空间域 [0, 1]*[0, 1] 的数值解 。
在例程中，取边界条件为 u(x,0)=u(x,1)=0,u(0,y)=u(1,y)=1。
