矩阵与向量type
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矩阵的加法
设 是两个 矩阵,则 矩阵 称为矩阵 与 的和,记为 .
矩阵的数乘
设 是 矩阵, 是一个常数,则 矩阵 称为数 与矩阵 的数乘,记为 .
矩阵的乘法
设 是 矩阵, 是 矩阵,那么 矩阵 其中 称为 的乘积,记为 .
、 、 三者之间的关系
但 不一定成立.
3. ,
但 不一定成立
4.
有关 的结论
- 若 可逆,则
- 若 为 阶方阵,则:
有关 的结论
可逆
可以表示为初等矩阵的乘积; .
有关矩阵秩的结论
- 秩 =行秩=列秩;
- 初等变换不改变矩阵的秩
- 特别若 则:
- 若 存在 若 存在
若 若
8. 只有零解
分块求逆公式
;
;
;
这里 , 均为可逆方阵.
有关向量组的线性表示
(1) 线性相关 至少有一个向量可以用其余向量线性表示.
(2) 线性无关, 线性相关 可以由 唯一线性表示.
(3) 可以由 线性表示 .
有关向量组的线性相关性
(1)部分相关，整体相关;整体无关,部分无关.
(2)① 个 维向量 线性无关 , 个 维向量 线性相关
② n + 1个n维向量线性相关。
③ 若 线性无关,则添加分量后仍线性无关;或一组向量线性相关,去掉某些分量后仍线性相关.
有关向量组的线性表示
- 线性相关 至少有一个向量可以用其余向量线性表示.
- 线性无关, 线性相关 可以由 唯一线性表示.
- 可以由 线性表示
向量组的秩与矩阵的秩之间的关系
设 ,则 的秩 与 的行列向量组的线性相关性关系为:
- 若 ,则 的行向量组线性无关
- 若 ,则 的行向量组线性相关
- 若 ,则 的列向量组线性无关
- 若 ,则 的列向量组线性相关
维向量空间的基变换公式及过渡矩阵
若 与 是向量空间 的两组基,则基变换公式为:
其中 是可逆矩阵,称为由基 到基 的过渡矩阵.
坐标变换公式
若向量 在基 与基 的坐标分别是
即: ,则向量坐标变换公式为 或 ,其中 是从基 到基 的过渡矩阵.
向量的内积
Schmidt正交化
若 线性无关,则可构造 使其两两正交,且 仅是 的线性组合 ,再把 单位化,记 ,则 是规范正交向量组.其中
, ,
…………
正交基及规范正交基
向量空间一组基中的向量如果两两正交,就称为正交基;若正交基中每个向量都是单位向量,就称其为规范正交基.