行列式 | 彩潭有鲤的札记

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行列式的性质

，单位矩阵行列式值为一

交换行，行列式变号

如果在矩阵的一行乘上，则行列式的值就要乘上

行列式是“矩阵的行”的线性函数

注意：这里并不是指，方阵相加会使每一行相加，这里仅是针对某一行的线性变换。

如果两行相等，则行列式为零

交换这个相同的两行，行列式应该变号，但是新生成的矩阵跟原矩阵没有区别，因此行列式不变，所以等于0

从第行中减去第行的倍，行列式不变。这条性质是针对消元的，可以先消元，将方阵变为上三角形式后再计算行列式。

举例：

如果方阵的某一行为零，则其行列式值为零

对零行乘以不为零系数，使即可证明；或将某行加到为零行，使存在两行相等后即可证明。

三角阵的行列式的值等于其对角线上数值（主元）的乘积

有上三角行列式，则。

从最后一行开始，将对角元素上方的元素依次变为零，可以得到型为的对角行列式，再将对角元素提出得到，得证。

当矩阵为奇异矩阵时，；当且仅当可逆时，有。

如果矩阵可逆，则化简为上三角形式后各行都含有主元，行列式即为主元乘积；如果矩阵奇异，则化简为上三角形式时会出现全零行，行列式为零。

使用这一性质，，所以。

此外，并且有。后一个公式让我们容易联想到体积，当长宽高都倍增之后，体积变成了原来的倍。

尽管矩阵的和的行列式不等于行列式的和，但矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积

有了这条性质，行的属性同样适用于列

证明：，值得注意的是，的行列式并不因为转置而改变，得证。

设为阶方阵， (若可逆)，

，为方阵

范德蒙行列式

设是阶方阵, 是的个特征值,则

行列式公式

交换行行列式变号

对行列式的每一行都可以单独使用线性运算，其值不变

使用这三条性质推导二阶方阵行列式：

按照这个方法，继续计算三阶方阵的行列式

可以想到，保持第二、三行不变，将第一行拆分为个行列式之和，再将每一部分的第二行拆分为三部分，这样就得到九个行列式，再接着拆分这九个行列式的第三行，最终得到二十七个行列式。可以想象到，这些矩阵中有很多值为零的行列式，只需要找到不为零的行列式，求和即可。

同理，我们想继续推导出阶数更高的式子，按照上面的式子可知阶行列式应该可以分解成个非零行列式（占据第一行的元素有种选择，占据第二行的元素有种选择，以此类推得）：

这个公式还不完全，接下来需要考虑如何确定符号：

观察带有下划线的元素，它们的排列是，变为需要两步操作，所以应取

观察带有上划线的元素，它们的排列是，变为需要一步操作，所以应取

观察其他元素，无法找出除了上面两种以外的排列方式，于是该行列式值为零，这是一个奇异矩阵。

代数余子式

此处引入代数余子式（cofactor）的概念，它的作用是把阶行列式化简为阶行列式。

改写为：

于是，可以定义的代数余子式：将原行列式的第行与第列抹去后得到的阶行列式记为，为偶时时取，为奇时取。

将行列式沿第一行展开：

对于二阶矩阵，按照代数余子式公式则有

三种求行列式的方法：

消元，就是主元的乘积

求项之积

使用代数余子式

求逆矩阵

对于二阶矩阵有。观察易得，系数项就是行列式的倒数，而矩阵则是由一系列代数余子式组成的。

那么能写出三阶甚至高阶的公式么？通过观察二阶矩阵逆矩阵的公式，可以用同样的策略来构造高阶矩阵的求逆公式，为：

分母是矩阵的行列式的值，矩阵是代数余子式矩阵的转置，即伴随矩阵（adjoint matrix）。

化简公式得，写成矩阵形式有

对于这两个矩阵的乘积，观察其结果的元素：

，这正是将行列式按第一行展开的结果；同理，对都有，即对角线元素均为。

再来看非对角线元素：

二阶的情况，如果用第一行乘以第二行的代数余子式，得到。换一种角度看问题，也是一个矩阵的行列式值，即。将按第二行展开，也会得到，因为行列式有两行相等所以行列式值为零。

推广到阶，我们来看元素，该元素是第一行与最后一行的代数余子式相乘之积。这个式子也可以写成一个特殊矩阵的行列式，即矩阵

计算此矩阵的行列式，将按最后一行展开，也得到

同理，行列式有两行相等，其值为零。

结合对角线元素与非对角线元素的结果，得到，也就是，得证。

克莱姆法则求解

克莱默法则（Cramer's rule）

现在有了逆矩阵的计算公式，所以对有

观察，将得到的解拆分开来，对的第一个分量有，这里是一个数字，其值为，每当看到数字与代数余子式乘之积求和时，都应该联想到求行列式，也就是说可以看做是一个矩阵的行列式，设这个矩阵为。所以有，同理有，。

而是一个型为的矩阵，即将矩阵的第一列变为向量而得到的新矩阵。

其实很容易看出，可以沿第一列展开得到。

一般的，有，即将矩阵的第列变为向量而得到的新矩阵。所以，对于解的分量有。

公式虽然很漂亮，但是并不方便计算。相比于消元法，采用克莱姆法则计算方程的解效率较低。

体积

矩阵行列式的绝对值等于以矩阵行（列）向量为边所构成的平行六面体的体积，行列式的正负对应左手系和右手系。

三维空间中，对于阶方阵，取第一行，令其为三维空间中点的坐标，同理有点。连接这三个点与原点可以得到三条边，使用这三条边展开得到一个平行六面体，就是该平行六面体的体积。

对于三阶单位矩阵，其体积为，此时这个箱子是一个单位立方体。

对于行列式，交换两行并不会改变箱子的大小，同时行列式的绝对值也没有改变。

取矩阵，是一个标准正交矩阵，此时这个箱子是一个立方体，可以看出这个箱子就是单位立方体经过旋转得到的。对于标准正交矩阵，有，等式两边取行列式得，而根据行列式性质有，所以。

考虑不再是“单位”的立方体，即长方体。假设矩阵的第一行翻倍得到新矩阵，此时箱子变为在第一行方向上增加一倍的长方体箱子，也就是两个“标准正交箱子”在第一行方向上的堆叠。易知这个长方体箱子是原来体积的两倍，而根据行列式性质有，于是体积也符合行列式的数乘性质。

二阶方阵，。在二阶情况中，行列式就是一个求平行四边形面积的公式，原来求由四个点围成的四边形的面积，需要先求四边形的底边长，再做高求解，现在只需要计算即可（更加常用的是求由围成的三角形的面积，即）。也就是说，如果知道了歪箱子的顶点坐标，求面积（二阶情形）或体积（三阶情形）时，我们不再需要开方、求角度，只需要计算行列式的值就行了。

在一般情形下，由点围成的三角形面积等于，计算时分别用第二行、第三行减去第一行化简到第三列只有一个（这个操作实际是将三角形移动到原点），得到，得到三角形面积等于。