方程组和矩阵 | 彩潭有鲤的札记

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方程组，写作矩阵形式有

把第一个矩阵称为系数矩阵，第二个矩阵称为向量，第三个矩阵称为向量，于是线性方程组可以表示为。

方程的矩阵形式，这是一种乘法运算，例如，计算矩阵乘以向量：

建议用第一种方法，将看做列向量的线性组合

以行图片的视角，将其看作：

矩阵行向量点乘向量，此时解这个线性方程组就是求两条直线的交点。如果两条直线平行，那么就没有交点，对应的方程组无解，如果两条直线重合，就有无限个解。下图是直角坐标系中两直线相交的情况

按列观察方程组，（第一个向量为，第二个向量为）

这个时候，求解线性方程变成了这样一个问题：

如果手上有两个向量 ，那么如何对它们进行线性组合，最终才能得到想要的向量 ？

所以解线性方程变成了一个求线性组合的过程，如果两个向量方向是重合的，那么这个问题就无解，但如果两个向量和目标向量的方向重合，那么就有无限个解。以列向量的视角来看，矩阵乘法是一种对向量的线性组合的过程。

要使式子成立，需要第一个向量加上两倍的第二个向量，即

在二维平面上画出上面的列向量：

如图，绿向量与蓝向量（两倍的青色向量）合成红向量，的某种线性组合得到了向量

那么的所有线性组合能够得到什么结果？它们将铺满整个平面。

三个未知数的方程组：：

三维直角坐标系中，每一个方程确定一个平面，上式的三个平面会相交于一点，这个点就是方程组的解

将方程组写成列向量的线性组合，观察列图像：

需要的线性组合为

对于任意的 ，是否都能求解 ？用列向量线性组合的观点阐述就是：列向量的线性组合能否覆盖整个三维向量空间？

对上面的，答案是肯定的，但是对另一些矩阵，答案是否定的。

在什么情况下，三个向量的线性组合得不到 ？

如果三个向量在同一个平面上，问题就出现了——他们的线性组合也一定都在这个平面上（比如），不管怎么组合，这三个向量的结果都逃不出这个平面，因此：当在平面内，方程组有解，而当不在平面内，这三个列向量就无法构造出，这种情形称为奇异、矩阵不可逆。

例如，九维空间，每个方程有九个未知数，共九个方程，此时无法从坐标图像中描述问题了，但是可以从求九维列向量线性组合的角度解决问题。是否总能得到？这仍取决于这九个向量，如果取一些并不相互独立的向量，比如取了九列但其实只相当于八列（有一列是其它列的某种线性组合），则会有一部分无法求得。

回过头来看行图像，方程组其实也可以这么写：

计算过程也可以这样写，这样一来，矩阵相乘就是行向量的线性组合：

结合列图像的计算，其实就是做了一个转置，从中可以窥探出转置运算的公式：

总的来说，如果矩阵X左边乘上一个矩阵，可以理解成对矩阵X的行向量进行线性组合，矩阵X右边乘上一个矩阵，可以理解成对矩阵X的列项进行线性组合。