连续概率分布type
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均匀分布
若连续随机变量的PDF为
则称其在区间 上服从均匀概率分布，记做 。 因为是一个有界随机变量，其各阶矩均存在。则第阶矩为
令 ，可得的均值为：
令 ，可得二阶矩
因此可得的方差为：
正态分布
若连续随机变量的PDF为：
其中。 则称其服从正态分布，记作 。参数和 分别是位置和尺度参数。当 时， 称作标准正态或单位正态分布(unit normal distribution)。
正态分布的均值为：
其中，由于被积函数为奇函数，倒数第二个等式中的积分为 0 。
使用分部积分求方差：
可加性： ，并且相互独立那么
Stein引理:
假设 ，并且 是满足的可微函数，则
正态分布的形状
- 均值和中值都是
- 在时得到最大值
- 二次求导后在处为0，为曲线拐点
对数正态分布
若连续随机变量的PDF为：
则称其服从对数正态分布，记作lognormal 。
因此， 。
伽玛分布及广义伽玛分布
函数 称作伽玛函数(Gamma function)，定义为
的性质：
- 若 是此整数，则
若非负连续随机变量的PDF为：
其中为伽马函数，则称其服从伽马分布 。
当 时，伽马分布称作标准伽马分布。
的均值为
其中最后一处积分可视作 随机变量PDF的积分。
其二阶矩为
其中最后一处积分可视作 随机变量PDF的积分。由此可得方差为
与伽玛分布紧密相关的一个分布是广义伽玛分布。假设随机变量
服从标准伽马分布，即 或者等价地有PDF
则称随机变量 服从形状参数为 与 、尺度参数为 、位置参数为的广义伽玛分布，并且的PDF为
指数分布
指数分布与韦伯分布
伽马分布的另一种特殊形式称作指数分布。若非负连续随机变量的PDF为
其中为尺度参数，则称其服从指数分布分布。当时，则称服从标准指数分布，记作 。
指数分布是伽马分布 在时的一个特例。
均值为：
方差为：
CDF为：
与几何分布类似，指数分布也具有 “无记忆性"，即对任意正数和 ，并且 ，有
证明：
而若 服从参数为的指数分布，则服从韦伯(Weibull)分布，其PDF为
其中是位置参数， 是尺度参数，是形状参数，必须大于1 。实际应用中通常设 。
双指数分布
若连续随机变量的PDF为：
其中 ，则称其服从双指数 分布。
双指数分布是关于对称的分布，其尾部相对于正态分布更厚。该分布在 处取得峰值并且其导数在该点不存在。
的均值为：
方差为：
卡方分布
考虑伽马分布的一种特殊情形。若非负连续随机变量 的PDF为
则称其服从自由度为 的卡方分布，记作 。
卡方分布 是伽马分布 在 的特殊情形。
特别的，其均值为
方差为
，其中 相互独立，且同服从
Beta分布
若连续随机变量的PDF为
则称其服从贝塔分布 ，其中
称作贝塔函数（Beta function)，定义为：
分布的均值为：
其中最后一个积分可视作 随机变量PDF的积分。
为了计算方差，首先求 二阶矩：
分布的方差为：
在一些机器学习模型中，有时把先验分布定位beta distribution
柯西及稳态分布
若连续随机变量的PDF为
其中 ，则称其服从 Cauchy 分布。
参数 与 分别是位置参数与尺度参数。该分布关于 对称，其支撑不是有界的。当 时，该分布称作标准柯西分布，记为 。
柯西分布的均值以及所有高阶矩均不存在。因此，位置参数 不能解释成均值，尺度参数 也不能解释为标准差。
例如，对于 分布，有
- Fisher Z：
- F分布：
- t 分布：
- 指数族分布: