矩阵的误差分析type
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直观地，误差分析首先要求我们能够确定且统一地描述误差(即测定值与实际值之间的"距离")，而单靠矩阵显然做不到这一点，因此借用了范数这一工具.
度量方法：范数
范数实际上是实分析中的一条重要概念，是长度概念的推广
假设有一线性空间 ，存在某一函数 将 映射至非负实数空间 ，且这个函数满足：
- 当且仅当 (正定性)
- (绝对齐次性)
- (三角不等式)
则这一函数被称为 上的一个范数，二元体 被称为一个赋范线性空间或Banach空间.
一句话描述：范数是某种距离的刻画.
具有如下性质的范数是等价的：
在一线性空间 上的两个范数 和 ，如 , ，有：
则称范数 和 等价.
这种等价性给出了一种很好的性质：等价范数之间只差一个常数倍，因此，想要得到向量的某种性质，无论用哪种范数来估计，都可以获得相同的结果.
向量范数
针对于 向量空间的常用范数有：
- 1-范数：
- 2-范数：
- -范数：
所有的向量范数均是等价的
矩阵范数
一般来讲，在矩阵空间上的某一函数 想要被称之为范数，还需要附加一个相容性条件：
诱导范数
若 属一 向量空间上的向量范数， 是一 矩阵，则
则 是一矩阵范数，称为诱导范数或算子范数.
由上述向量范数可以诱导出矩阵范数：
- 1-范数：最大的列总和
- 2-范数(谱范数)：矩阵的最大奇异值之平方根
- -范数：最大的行总和
所有的矩阵范数均是等价的
矩阵的误差定义
提出了范数工具，我们即可定义矩阵的误差：
记测量值为 ，真实值为 ，则 为向量的绝对误差， 为向量的绝对误差.
记测量值为 ，真实值为 ，则 为矩阵的绝对误差， 为矩阵的绝对误差.
方程组的条件数
在某些情况下，方程组中，若在右端施加一小扰动，其解 会获得一个相当大的扰动 ，这种方程组被称为病态的.
为了定量刻画方程组的病态程度，上述情况：
试图得到其解的相对变化 与右值的相对变化 的相关关系，从而找出其病态的根源：
，而 是可逆矩阵，故：
又 ，得到
故：
故 控制着这种扰动的大小，这个量被称为条件数，描述为 。直观地，条件数的大小与所用范数有关.
性质
条件数有如下性质：
- 任意方阵的条件数大于
- 正交矩阵的2-范数条件数为1
在如下情况下，方阵的条件数会变得很大：
- 有两行/列向量非常相近时(这种问题通常被称为多重共线性问题)
- 有某一主元有着较小的绝对值时
- 各行/列向量元素的数量级差距较大时
残量与误差控制
为表征线性方程组 之解 的相对误差，记的残量，则相对误差有如下关系：
即使求解出的残量很小，但如果方程的状态数较大，仍可能会导出一个较大的相对误差，这表明导致的误差增大是一个不可回避的问题
残量方程
根据残量的定义，有第n次迭代的残量： ，解方程 可以解出残量反射至的数值，迭代：即可减小 的残量