线性变换及对应矩阵type
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如何判断一个操作是不是线性变换？
线性变换需满足以下两个要求：
变换需要同时满足加法和数乘不变的性质，将两个性质合成一个式子为：
例1，二维空间中的投影操作， ，它可以将某向量投影在一条特定直线上。如果将向量长度翻倍，则其投影也翻倍；两向量相加后做投影与两向量做投影再相加结果一致。所以投影操作是线性变换。
“坏”例1，二维空间的平移操作，即平面平移：
比如，上图中向量长度翻倍，再做平移，明显与向量平移后再翻倍的结果不一致。
有时我们也可以用一个简单的特例判断线性变换，检查 。零向量平移后结果并不为零。
所以平面平移操作并不是线性变换。
“坏”例2，求模运算， ，这显然不是线性变换，比如如果将向量翻倍则其模翻倍，但如果我将向量翻倍取负，则其模依然翻倍。所以
例2，旋转 操作， ，也就是将平面内一个向量映射为平面内另一个向量。检查可知，如果向量翻倍，则旋转后同样翻倍；两个向量先旋转后相加，与这两个向量先相加后旋转得到的结果一样。
所以从上面的例子我们知道，投影与旋转都是线性变换。
例3，矩阵乘以向量， ，这也是一个（一系列）线性变换，不同的矩阵代表不同的线性变换。根据矩阵的运算法则有 。比如取 ，作用于平面上的向量 ，会导致 的 分量不变，而 分量取反，也就是图像沿 轴翻转。
线性变换的核心，就是该变换使用的相应的矩阵。
比如需要做一个线性变换，将一个三维向量降至二维， ，则在 中， ，所以 应当是一个 矩阵。
如果希望知道线性变换 对整个输入空间 的影响，可以找到空间的一组基 ，检查 对每一个基的影响 ，由于输入空间中的任意向量都满足：
（1）
所以可以根据推出线性变换对空间内任意向量的影响，得到：
（2）
现在我们需要考虑，如何把一个与坐标无关的线性变换变成一个与坐标有关的矩阵呢？
在 式中， 就是向量 在基 上的坐标，比如分解向量
式子将向量 分解在一组标准正交基 上。当然，也可以选用矩阵的特征向量作为基向量，基的选择是多种多样的。
构造一个矩阵 用以表示线性变换 。需要两组基，一组用以表示输入向量，一组用以表示输出向量。令 为输入向量的基，这些向量来自 ； 作为输出向量的基，这些向量来自 。
用二维空间的投影矩阵作为例子：
从图中可以看到，设输入向量的基为 ， 就在投影上，而 垂直于投影方向，输出向量的基为 ，而 。那么如果输入向量为 ，则输出向量为 ，也就是线性变换去掉了法线方向的分量，输入坐标为 ，输出坐标变为 。
找出这个矩阵并不困难， ，则有 。
本例中我们选取的基极为特殊，一个沿投影方向，另一个沿投影法线方向，其实这两个向量都是投影矩阵的特征向量，所以我们得到的线性变换矩阵是一个对角矩阵，这是一组很好的基。
所以，如果我们选取投影矩阵的特征向量作为基，则得到的线性变换矩阵将是一个包含投影矩阵特征值的对角矩阵。
继续这个例子，我们不再选取特征向量作为基，而使用标准基 ，我们继续使用相同的基作为输出空间的基，即 。此时投影矩阵为 ，这个矩阵明显没有上一个矩阵“好”，不过这个矩阵也是一个不错的对称矩阵。
总结通用的计算线性变换矩阵 的方法：
- 确定输入空间的基 ，确定输出空间的基
- 计算 ，求出的系数 就是矩阵 的第一列
- 继续计算 ，求出的系数 就是矩阵 的第二列
- 以此类推计算剩余向量直到 ；
- 最终得到矩阵
介绍一种不一样的线性变换， ：
- 设输入为 ，基为 ；
- 则输出为导数： ，基为 ；
所以需要求一个从三维输入空间到二维输出空间的线性变换，目的是求导。求导运算其实是线性变换，因此我们只要知道少量函数的求导法则（如 ），就能求出它们的线性组合的导数。
有 ，从输入输出的空间维数可知， 是一个 矩阵， 。
最后，矩阵的逆相当于对应线性变换的逆运算，矩阵的乘积相当于线性变换的乘积，实际上矩阵乘法也源于线性变换。