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关于概率的几种观点
一个关于概率的简单而直观的说法是：概率是随机事件发生的可能性大小
在概率论发展的历史上，曾有过概率的古典定义、概率的几何定义、概率的频率定义和概率的主观定义。这些定义各适合一类随机现象。那么如何给出适合一切随机现象的概率的最一般的定义呢？1900年数学家希尔伯特提出要建立概率的公理化定义以解决这个问题，即以最少的几条本质特性出发去刻画概率的概念。1933年数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义，这个定义既概括了历史上几种概率定义中的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之处，不管什么随机现象，只有满足该定义中的三条公理，才能说它是概率。
公理化概率
设 为一个样本空间， 为 的某些子集组成的事件域。若对任一事件 ，定义在 的一个实值函数满足:
- 非负性公理：若 ，则
- 正则性公理：
- 可列可加性公理：若 互不相容，则
则称 为事件 的概率，称三元素 为概率空间。
概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的函数，若在事件域上给出一个函数，当这个函数能满足上述三条公理，就被称为概率；不能满足上述三条公理中任一条，就被认为不是概率。
公理化定义没有告诉人们如何去确定概率，历史上在公理化定义出现之前概率的频率定义、古典定义、几何定义和主观定义都在一定的场合下，有着各自确定概率的方法，所以在有了概率的公理化定义之后，把它们看作确定概率的方法是恰当的。
频率派解释
频率派认为：事件的概率就是经过大量重复试验后，此事件出现的次数与试验总次数的比，也就是事件出现的频率。这个定义非常模糊，比如大量试验，多大算大？而且用一万次试验定义某个事件概率后，又进行了一万次试验很有可能结果不一，也就是按照一个定义做了两次，结果自相矛盾，那么这个定义是定义不成功的，但是这两个结果应该非常接近，或者说他们很接近真理了。
频率派和统计派是一个派。
确定概率的频率方法是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得概率的一种方法，其基本思想是：
- 与考察事件 有关的随机现象可大量重复进行
- 在次重复试验中，记为事件 出现的次数，又称 为事件 的频数。则称 为事件 出现的频率
- 人们的长期实践表明：随着试验重复次数 的增加，频率 会稳定在某一常数 附近，称这个常数为频率的稳定值。这个频率的稳定值就是我们所求的概率
确定概率的频率方法虽然是很合理的，但此方法的缺点也是很明显的：在现实世界 里，人们无法把一个试验无限次地重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困难的。频率方法提供了概率的一个可供想象的具体值，并且在试验重复次数 较大时，可用频率给出概 率的一个近似值，这一点是频率方法最有价值的地方。在统计学中就是如此做的，且称频率为概率的估计值。
用频率方法确定的概率满足公理化定义，它的非负性与正则性是显然的。而可加性只需注意到：当 与 互不相容时，计算 的频数可以分别计算 的频数和 的频数，然后再相加，这意味着 ，从而有：
古典派解释
确定概率的古典方法是概率论历史上最先开始研究的情形。它简单、直观，不需要做大量重复试验，而是在经验事实的基础上，对被考察事件的可能性进行逻辑分析后得出该事件的概率。
古典方法的基本思想如下：
- 所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为个
- 每个样本点发生的可能性相等 (称为等可能性) 。例如，抛一枚均匀硬币，正面与反面的可能性相等
- 若事件含有个样本点，则事件的概率为
上述确定的概率满足公理化定义，它的非负性与正则性是显然的。而满足可加性的理由与频率方法类似: 当与互不相容时，计算 的样本点个数可以分别 计算 的样本点个数和 的样本点个数，然后再相加，从而有可加性 。
古典方法是概率论发展初期确定概率的常用方法，故所得的概率又称为古典概率。
这个定义有点搞笑的是里面出现了可能性这个字，而我们要定义的就是可能性，换种说法让他们定义人的话，他们会说：有一种是人的生物叫做人？而且等可能性这个事情本身就不可能发生，比如扔硬币，其实考虑到硬币两面不同的样式，以及重心的微弱变化，其结果不可能是完全等可能的。
几何概率
确定概率的几何方法，其基本思想是:
- 如果一个随机现象的样本空间 充满某个区域，其度量（长度、面积或体积) 大小可用 表示
- 任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的。譬如在样本空间 中有一单位正方形 和直角边为1与2的直角三角形 ，而点落在区域和区域 是等可能的，因为这两个区域面积相等。
- 若事件为中的某个子区域，其度量大小可用表示，则事件的概率为
这个概率称为几何概率，它同样满足概率的公理化定义。求几何概率的关键是对样本空间和所求事件用图形描述清楚（一般用平面或者空间图形），然后计算相关图形的度量（一般为面积或体积)。
主观概率
在现实世界里有一些随机现象是不能重复的或不能大量重复的，这时有关事件的概率如何确定呢？
统计界的贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念。这样给出的概率称为主观概率。
这种利用经验确定随机事件发生可能性大小的例子是很多的，人们也常依据某些主观概率来行事。例如，一个外科医生根据自己多年的临床经验和一位患者的病情，认为“此手术成功”的可能性为 。
- 主观概率和主观臆造有着本质上的不同，前者要求当事人对所考察的事件有透彻的了解和丰富的经验，并能对历史信息和当时信息进行仔细分析，如此确定的主观概率是可信的。从某种意义上说，不利用这些丰富的经验也是一种浪费；并且，主观概率的确定除了根据自己的经验外，决策者还可以利用别人的经验。
- 用主观方法得出的随机事件发生的可能性大小，本质上是对随机事件概率的一种推断和估计。虽然结论的精确性有待实践的检验和修正，但结论的可信性在统计意义上是有其价值的。
- 在遇到的随机现象无法大量重复时，用主观方法去做决策和判断是适合的。从这点来看，主观方法至少是频率方法的一种补充。
主观给定的概率要符合公理化的定义。
概率的性质
不可能事件的概率为，
概率的可列可加性说明了对可列个互不相容的事件 ，其可列并的概率可以先分别求再相加，那么对有限个互不相容的事件 ，有
对任一事件 ，有：
概率的单调性：若 ，则
对任意两个事件 ，有
概率的加法公式
对任意两个事件 ，有
对任意 个事件 ，有
半可加性
对任意两个事件 ，有：
对任意 个事件 ，有：
概率的连续性
对 中任意单调不减的事件序列 ，称可列并 为 的极限事件，记为：
对中任意单调不增的事件序列 ，称可列并 为 的极限事件，记为：
有了上述极限事件的定义，就可给出如下概率函数的连续性定义。
对 上的一个概率 ，
若它对 中任一单调不减的序列 均成立
则称概率 是下连续的。
若它对 中任一单调不增的序列 均成立
则称概率 是上连续的。
若为事件域上的概率，则 既是下连续的，又是上连续的。
若是 上满足 的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件是
- 它是有限可加的
- 它是下连续的