随机事件

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随机现象

在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象，例如：抛硬币，掷骰子。

随机现象有两个特点：

结果不止一个

哪一个结果出现，人们事先并不知道

只有一个结果的现象称为确定性现象，例如：太阳从东方升起。

对在相同条件下可以重复的随机现象的观察、记录、实验称为随机试验。也有很多随机现象是不能重复的。例如：某场足球赛的输赢是不能重复的，某些经济现象（如失业、经济增长速度）也不能重复。

样本空间

随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为。其中，表示基本结果，又称为样本点。样本点是抽样的最基本单元。

一些随机现象的样本空间：

抛一枚硬币的样本空间为。其中，表示正面朝上，表示反面朝上

掷一颗骰子的样本空间为

一天内进入某商场的顾客数的样本空间为

电视机寿命的样本空间为

注意：

样本空间中的元素可以是数也可以不是数

样本空间至少有两个样本点，仅含两个点的样本空间是最简单的样本空间

从样本空间含有的样本点个数来区分，样本空间可分为有限和无限两类。往往将样本点的个数为有限个或者可列个的情况归为一类，称为离散样本空间；将样本点的个数为不可列无限个的情况归为另一类，称为连续样本空间。

随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母表示。例如，在掷一颗骰子中， "出现奇数点" 是一个事件，即，它是相应样本空间的一个子集。

注意：

任意事件是相应样本空间的一个子集，事件的维思图如下所示

当子集中某个样本点出现了，就说事件发生了。事件发生当且仅当中某个样本点出现了。

事件可以用集合表示，也可以用明白无误的语言描述

由样本空间中的单个元素组成的子集称为基本事件。样本空间的最大子集 (即本身) 称为必然事件；样本空间的最小子集（即空集）称为不可能事件。

随机变量

用来表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母表示。很多事件都可用随机变量表示，表示时应写明随机变量的含义，而随机变量的含义是人们按需要设置出来的。

例：很多随机现象的结果本身就是数，把这些数看作某特设变量的取值就可获得随机变量。如掷一颗骰子，可能出现诸点。若设置 X=“掷一颗骰子出现的点数”，则就是随机变量的可能取值

事件的关系与运算

子事件: 的样本点必属于，事件发生必然导致事件发生

相等事件: 即且

和事件: （或)，与中至少有一个发生

差事件: 发生但不发生

积事件: （或），与同时发生

互斥事件(互不相容): 事件与事件不可能同时发生

互逆事件(对立事件):

事件的对立事件，记为。即 "由在中但不在中的样本点组成的新事件"，不发生。即。

对立事件是相互的，的对立事件是的对立事件是，即。必然事件与不可能事件互为对立事件，。与互为对立事件的充要条件是: ，且。因此，如果事件与满足: ，且，则称与互为对立事件，记为。注意：对立事件一定是互不相容的事件，但互不相容的事件不一定是对立事件。

运算律

交换律：

结合律：

分配律：

对偶律 (德摩根公式)：

事件并的对立等于对立的交:

事件交的对立等于对立的并:

推广到多个事件及可列个事件场合：

事件的并与交运算可推广到有限个或可列个事件，譬如有事件，则称称为有限并，称为可列并，称为有限交，称为可列交。

完全事件组

两两互斥，且和事件为必然事件，即