正交向量与正交子空间type
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正交向量 Orthogonal vectors
对于向量 ，当 即时，有向量 正交。
毕达哥拉斯定理（Pythagorean theorem）中提到，直角三角形的三条边满足：
对于向量点乘，
由此得出，两正交向量的点积为 。另外， 可以为 向量，向量与任意向量正交。
举个例子： ，有 ，而 。
正交子空间 Orthogonal subspaces
子空间与子空间正交，则意味着中的每一个向量都与 中的每一个向量正交。若两个子空间正交，则它们一定不会相交于某个非零向量。
观察行空间与零空间，零空间是 的解，即 若在零空间，则 为零向量；对于行空间，有：
所以这个等式告诉我们， 同中的所有行正交，所以零空间与行空间正交。同理列空间与左零空间正交。
验证是否与 中各行的线性组合正交，，各式相加得 ，得证。
可以说，行空间与零空间将 分割为两个正交的子空间，同样的，列空间与左零空间将分割为两个正交的子空间。
举例， ，则可知 。
有，解得零空间的一组基。行空间的一组基为 ，零空间与行空间正交，在本例中行空间也是零空间的法向量。
行空间与零空间称为维空间里的正交补（orthogonal complement），即零空间包含了所有与行空间正交的向量；同理列空间与左零空间为 维空间里的正交补，即左零空间包含了所有与零空间正交的向量。
如果是长方形矩阵， 。方程数特别多的时候，容易混入“坏”数据，方程变得无解，虽然可以通过筛选的方法去掉一些我们不希望看到的方程，但是这并不是一个稳妥的方法。
于是，引入一个重要的矩阵： 。这是一个 矩阵点乘 矩阵，其结果是一个 矩阵，也是一个对称矩阵 。
，这个变换可以将“坏方程组”变为“好方程组”。
举例，有 ，只有当 在矩阵的列空间时，方程才有解。
现在来看 ，可以看出此例中 是可逆的。然而并非所有 都是可逆的，如（这是两个秩1矩阵相乘，其结果秩不会大于1）
可逆当且仅当为零向量，即的列线性无关