导数、极限和连续type
status
date
slug
summary
tags
category
icon
password
Property
几何观点下的导数
如何求函数在点的切线？
确定该直线需要知道两点：
- 曲线上的点，满足
- 切线的斜率就是函数的导数
绿色虚线代表 的一条割线（secant line），即经过函数图像任意两个不重复的点的直线。
切线是什么？
- 与弧线有一个公共交点的直线
- 是割线（与弧线有两个公共交点的直线）的极限状态，当两个交点之一的点向点趋近，使得两点间的距离退化为零时的一种极限状态。
割线PQ之斜率的极限就是切线的斜率，即为导数。
切线方程：
法线方程：
导数的几何定义
例如：求导
导数的表示法
若，则有
牛顿记法：
若
莱布尼茨记法：
若
或者
极限和连续
简单极限：
导数永远不是简单极限： ，结果永远是，总是要先进行一些对消运算
点的左右极限：
右极限：
左极限：
求极限过程中不需要知道0点的函数值
定义：若有 ，则称函数在点连续
包含的条件是：
- 这一极限存在，即函数的左极限等于右极限
- 存在
- 函数值和函数的极限值相等
几种“不连续”的情况
- 跳跃间断：左右极限均存在，但是不相等 （左连续是关于过去，右连续是关于未来）
- 可去间断：左右极限存在并相等，但不等于函数值
例：，，而函数在零点无意义，因此0点也是可去间断点
- 无穷间断：例如函数，
- 另类间断：例如，当趋近于0的时候，将无限震荡，没有左右极限
可导必连续
若函数 在点可导，则函数在 点连续
证明：
则极限等于函数值，函数在该点连续。
左导数:
右导数:
可导和连续的关系
- 函数在处可微 在处可导
- 若函数在点 处可导，则 在点 处连续，反之则不成立，即函数连续不一定可导
- 存在
洛必达法则
法则Ⅰ (型)
设函数 满足条件：
- 在 的邻域内可导，(在 处可除外)且
- 存在(或 )
则: 。
法则(型)
设函数 满足条件:
- 存在一个 ，当 时，可导，且 ;
- 存在(或 )
则:
法则Ⅱ(型)
设函数 满足条件:
- 在 的邻域内可导(在 处可除外)且
- 存在(或 )
则，同理法则 (型)仿法则 可写出。
函数的增长速度
同样也可以评价函数的衰减速度：
