凸优化type
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把优化问题的可行域限定为凸集。
凸函数
函数 的图像为集合中的点集：
函数的图像可以描绘成 关于 的图形上的点集。
函数 的上图（epigraph），记为 ，是集合 中的点集：
函数 的上图 是位于集合 中、在函数 的图像上和图像上方的点集。
如果函数 的上图是凸集，则函数 是集合 上的凸函数。
如果函数 是集合上的凸函数，则集合是凸集。
对于定义在凸集 上的函数 ， 是凸函数当且仅当对于任意 和任意，都有
如果函数是定义在凸集上的凸函数，那么对于任意，在空间中连接两点 和之间线段上的所有点，都位于函数的图像或上图。
设函数 都是凸函数，则对于 ，函数也是凸函数； 也是凸函数。
因此，给定一组凸函数 和一组非负实数 ，函数 也是凸函数；函数 也是凸函数。
对于定义在凸集 上的函数 ，如果对于任意 和任意 ，都有
则函数 是 上的严格凸函数。
对于严格凸函数，连接两点 和 之间线段上的所有点（不包括两个断点），都严格位于函数的上图。
对于定义在凸集 上的函数 ，当是（严格）凸函数时， 是（严格）凹函数。
如果函数 是二次型函数 ，那么是 上的凸函数，当且仅当对所有 ，恒有 成立。
设 是定义在开凸集 上的可微函数，那么是 上的凸函数，当且仅当对于任意 ，有
令 ，函数是函数在点处的线性近似。
函数 的图像总是位于线性近似函数的上方，即在定义域内任意一点处，凸函数的线性近似总是位于其上图 的下方。
函数 定义在开凸集 上，如果对于所有 ，都有
则称向量为函数定义在点处的次梯度。
如果 是次梯度，那么对于给定的 函数位于上图的下方。
函数 定义在开凸集 上的凸函数，当且仅当对于任意，函数在点 处的黑塞矩阵半正定。
凸优化问题
凸优化问题（凸规划）是目标函数是凸函数、约束集是凸集的优化问题。线性规划、二次规划(目标函数为二次型函数、约束方程为线性方程)都可以归为凸规划。凸优化问题有很多独特之处。比较特别的一点是对于某些问题而言，局部极小点就是全局极小点。此外，极小点的一阶必要条件是凸优化问题的充分条件。
已知 是定义在凸集 上的凸函数，集合 中某一点是的全局极小点，当且仅当它是的局部极小点。
函数 是定义在凸集 上的凸函数， 定义在包含 的开集上。选定点，如果对于任意，都有
则是在上的全局极小点。
函数 是定义在凸集 上的凸函数， 定义在包含 的开集上。 ，对于点 处的任意可行方向，有
则 是在上的全局极小点。
函数 是定义在凸集 上的凸函数， 定义在包含的开集上。存在点，使得
则 是在 上的全局极小点。
函数 是可行域
上的凸函数。 ，且 是凸集。假设存在点 和 ，使得
则 是在 上的全局极小点。
函数 是可行域
上的凸函数。 ，且 是凸集。假设存在点 和 ，使得
则 是在上的全局极小点