相似矩阵和若尔当形type
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相似矩阵
定义：矩阵 对于某矩阵满足 时，称互为相似矩阵
对角化的式子 ，则有相似于 。
例如：，容易通过其特征值得到相应的对角矩阵，取 ，则
计算这几个矩阵的的特征值： 、 、 。
所以，相似矩阵有相同的特征值，并且线性无关的特征向量的个数相同，但是特征向量往往不同。
证明这个性质：
有，第一个式子化为，两边同时左乘 得
适当的分组得 ，即
可以解读成矩阵 与向量 之积等于 与向量 之积，也就是的特征值仍为 ，而特征向量变为 。
接下来看特征值重复时的情形：
特征值重复可能会导致特征向量短缺，来看一个例子，设 ，写出具有这种特征值的矩阵中的两个 ， 。其实，具有这种特征值的矩阵可以分为两族
第一族仅有一个矩阵 ，它只与自己相似（因为 ，所以无论 如何取值该对角矩阵都只与自己相似）
另一族就是剩下的诸如 的矩阵，它们都是相似的。在这个“大家族”中， 是“最好”的一个矩阵，称为若尔当形。
若尔当形在过去是线性代数的核心知识，但现在不是了，因为它并不容易计算。
- 继续上面的例子，在出几个这一族的矩阵 ，我们总是可以构造出一个满足 的矩阵，这个矩阵总是在这一个“家族”中。
相似矩阵的性质:
如果 则有：
(若A,B均可逆)
( 为正整数)
,从而 , 有相同的特征值
，从而 , 同时可逆或者不可逆
若尔当形
再来看一个更加“糟糕”的矩阵：
- 矩阵 ，其特征值为四个零。很明显矩阵的秩为 ，所以其零空间的维数为 ，即该矩阵有两个特征向量。可以发现该矩阵在主对角线的上方有两个 ，在对角线上每增加一个 ，特征向量个个数就减少一个。
- 令一个例子， ，从特征向量的数目看来这两个矩阵是相似的，其实不然。
若尔当认为第一个矩阵是由一个 的块与一个 的块组成的 ，而第二个矩阵是由两个 矩阵组成的 ，这些分块被称为若尔当块。
若尔当块的定义型为 ，它的对角线上只为同一个数，仅有一个特征向量。
所有有，每一个矩阵 都相似于一个若尔当矩阵，型为 。注意，对角线上方还有 。若尔当块的个数即为矩阵特征值的个数。
在矩阵为“好矩阵”的情况下， 阶矩阵将有 个不同的特征值，那么它可以对角化，所以它的若尔当矩阵就是 ，共 个特征向量，有 个若尔当块。
相似矩阵的性质:
如果 则有:
(若A,B均可逆)
( 为正整数)
,从而 , 有相同的特征值
，从而 , 同时可逆或者不可逆