随件变量及概率分布type
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随机变量
概率空间因随机试验而异使其在实际应用中存在诸多不便。特别地，当样本空间的元素不是实数时，其表述可能更加繁琐。在许多试验中，处理总结性变量比原始的概率结构更加方便。为形成统一的概率理论，需要统一不同的概率空间。
为此，借助一个或一系列规则，用数字表示样本空间中的元素。一种可行的方式就是对中每个可能结果都赋予一个实数。换言之，可以构造一个从原始样本空间到由一系列实数组成的新样本空间的映射，这一转换称作随机变量。随机变量是定义在样本空间上的函数，旨在将我们所关注的问题转化为具有更简便结构的新概率空间，从而更方便地解决问题。
随机变量：随机变量 ，是从样本空间到实数集 的-可测映射 (或点函数)，从而对每个结果都存在唯一的实数与之对应，随机变量可能取得所有实数值的集合被称作的值域，构成了新的样本空间，记作 。
例：抛硬币时，样本空间为 。定义一个随机变量 ，满足 ，则我们获得一个新的样本空间 。
- 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数
- 连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数
- 存在既非离散也非连续型随机变量
累积分布函数(CDF)
随机变量的CDF定义为：
的性质：
- 是单调非递减函数，即对任意的 ，有
- 是 的右连续函数，即对任意 及 ，
离散随机变量
若随机变量的取值是有限个或可列个，称其为离散随机变量。离散随机变量的概率分布可以用概率质量函数描述：
概率质量函数PMF的性质：
- 对所有
假设离散随机变量X的PMF为 ，则其CDF是
其中，加和符号是指对中所有小于等于的值进行求和
连续随机变量
连续随机变量：若随机变量的累积分布函数是实数集上的连续函数，则称其为连续随机变量。反之，若 是阶梯函数，则 称是离散随机变量。
能对连续随机变量定义PMF 吗？
显然，对任意常数 ，有 ，根据的连续性，有
因此，对所有 ，有
也就是，若 为连续随机变量，则取单点值的概率为零。那么，对连续随机变量有
概率密度函数(Probability Density Function)：假设连续随机变量的分布函数绝对连续。则存在函数 ，使得：
由上述定义知：
当且仅当：
- 对所有
函数 是连续随机变量的PDF